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与えられた式 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ を計算します。

算数平方根有理化計算
2025/6/8

1. 問題の内容

与えられた式 5+35−3−5−35+3\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。
5+35−3\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} の分母を有理化するために、分母と分子に 5+3\sqrt{5} + \sqrt{3} を掛けます。
5+35−3=(5+3)(5+3)(5−3)(5+3)=(5+3)2(5)2−(3)2=5+215+35−3=8+2152=4+15\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}
5−35+3\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} の分母を有理化するために、分母と分子に 5−3\sqrt{5} - \sqrt{3} を掛けます。
5−35+3=(5−3)(5−3)(5+3)(5−3)=(5−3)2(5)2−(3)2=5−215+35−3=8−2152=4−15\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}
したがって、
5+35−3−5−35+3=(4+15)−(4−15)=4+15−4+15=215\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = (4 + \sqrt{15}) - (4 - \sqrt{15}) = 4 + \sqrt{15} - 4 + \sqrt{15} = 2\sqrt{15}

3. 最終的な答え

2152\sqrt{15}

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