大きさが互いに異なる3つのサイコロを同時に投げるとき、次の事象が起こる目の出方は何通りあるか。 (1) 3つのサイコロの出た目の積が2の倍数となる。 (2) 3つのサイコロの出た目の積が3の倍数となる。 (3) 3つのサイコロの出た目の積が6の倍数となる。

1. 問題の内容

大きさが互いに異なる3つのサイコロを同時に投げるとき、次の事象が起こる目の出方は何通りあるか。

(1) 3つのサイコロの出た目の積が2の倍数となる。

(2) 3つのサイコロの出た目の積が3の倍数となる。

(3) 3つのサイコロの出た目の積が6の倍数となる。

2. 解き方の手順

(1) 3つのサイコロの出た目の積が2の倍数となる場合の数

全体の目の出方の総数は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通り。

積が2の倍数にならないのは、3つのサイコロの目がすべて奇数の場合。

奇数の目は1, 3, 5 の3種類なので、3つの目がすべて奇数になるのは $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通り。

したがって、積が2の倍数になるのは $216 - 27 = 189$ 通り。

(2) 3つのサイコロの出た目の積が3の倍数となる場合の数

全体の目の出方の総数は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通り。

積が3の倍数にならないのは、3つのサイコロの目がすべて3の倍数でない場合。

3の倍数でない目は1, 2, 4, 5 の4種類なので、3つの目がすべて3の倍数でないのは $4 \times 4 \times 4 = 64$ 通り。

したがって、積が3の倍数になるのは $216 - 64 = 152$ 通り。

(3) 3つのサイコロの出た目の積が6の倍数となる場合の数

積が6の倍数となるのは、2の倍数かつ3の倍数のとき。

まず、全体から2の倍数でない場合と3の倍数でない場合を引く。

ただし、2の倍数でないかつ3の倍数でない場合が重複して引かれているので、それを足し戻す。

2の倍数でないのは奇数の場合で、1, 3, 5 の3通り。

3の倍数でないのは 1, 2, 4, 5 の4通り。

2の倍数でなくかつ3の倍数でないのは 1, 5 の2通り。

したがって、それぞれの目の出方の総数は

$n(2の倍数でない) = 3 \times 3 \times 3 = 27$

$n(3の倍数でない) = 4 \times 4 \times 4 = 64$

$n(2の倍数でなくかつ3の倍数でない) = 2 \times 2 \times 2 = 8$

求める場合の数は

$216 - (27 + 64 - 8) = 216 - (91 - 8) = 216 - 83 = 133$通り。

3. 最終的な答え

(1) 189 通り

(2) 152 通り

(3) 133 通り