単純支持梁において、許容曲げ応力 $\sigma_a = 40 \text{MPa}$ としたときの長方形断面の寸法（幅 $b$ と高さ $h$）を求める問題です。ただし、断面の高さは幅の2倍、つまり $h = 2b$ とします。

1. 問題の内容

単純支持梁において、許容曲げ応力 $\sigma_a = 40 \text{MPa}$ としたときの長方形断面の寸法（幅 $b$ と高さ $h$）を求める問題です。ただし、断面の高さは幅の2倍、つまり $h = 2b$ とします。

2. 解き方の手順

まず、曲げモーメント $M$ を求めます。集中荷重 $W = 120 \text{N}$ が距離 $a = 800 \text{mm}$ の位置に作用し、スパン長 $l = 2000 \text{mm}$ なので、$M = \frac{Wab}{l}$ で計算できます。ここで、$b = l - a = 2000 - 800 = 1200 \text{mm}$ です。

したがって、

$M = \frac{120 \times 800 \times 1200}{2000} = 57600 \text{N}\cdot\text{mm}$

次に、断面係数 $Z$ を求めます。長方形断面の場合、$Z = \frac{bh^2}{6}$ であり、$h = 2b$ なので、$Z = \frac{b(2b)^2}{6} = \frac{4b^3}{6} = \frac{2b^3}{3}$となります。

曲げモーメントと許容応力の関係から、$Z = \frac{M}{\sigma_a}$ なので、$\frac{2b^3}{3} = \frac{M}{\sigma_a}$ となります。

したがって、$b^3 = \frac{3M}{2\sigma_a}$ となり、$b = \sqrt[3]{\frac{3M}{2\sigma_a}}$ で計算できます。

$b = \sqrt[3]{\frac{3 \times 57600}{2 \times 40}} = \sqrt[3]{\frac{172800}{80}} = \sqrt[3]{2160} \approx 12.92 \text{mm}$

$b$ の概算値は$13 \text{mm}$となります。

次に$h$を計算します。$h = 2b = 2 \times 12.92 = 25.84 \text{mm}$

$h$ の概算値は$26 \text{mm}$となります。

3. 最終的な答え

幅: 13 mm

高さ: 26 mm