一辺の長さが $a$ の正三角形 $D_0$ から出発し、多角形 $D_1, D_2, \dots, D_n, \dots$ を次のように定める。 (i) $D_{n-1}$ の1辺ABを3等分し、その分点をAに近い方からP, Qとする。 (ii) PQを1辺とする正三角形PQRを $D_{n-1}$ の外側に作る。 (iii) 辺ABを折れ線 APRQB でおき換える。 $D_{n-1}$ のすべての辺に対して (i) から (iii) の操作を行って得られる多角形を $D_n$ とする。 (1) $D_n$ の周の長さ $L_n$ を $a$ と $n$ で表せ。 (2) $D_n$ の面積 $S_n$ を $a$ と $n$ で表せ。 (3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正三角形 $D_0$ から出発し、多角形 $D_1, D_2, \dots, D_n, \dots$ を次のように定める。

(i) $D_{n-1}$ の1辺ABを3等分し、その分点をAに近い方からP, Qとする。

(ii) PQを1辺とする正三角形PQRを $D_{n-1}$ の外側に作る。

(iii) 辺ABを折れ線 APRQB でおき換える。

$D_{n-1}$ のすべての辺に対して (i) から (iii) の操作を行って得られる多角形を $D_n$ とする。

(1) $D_n$ の周の長さ $L_n$ を $a$ と $n$ で表せ。

(2) $D_n$ の面積 $S_n$ を $a$ と $n$ で表せ。

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 周の長さ $L_n$ について考える。

$D_{n-1}$ の1辺の長さを $l$ とすると、その辺は長さ $l/3$ の4つの辺からなる折れ線 APRQB に置き換えられるので、周の長さは $4/3$ 倍になる。

したがって、$L_n = \frac{4}{3} L_{n-1}$ であり、$L_0 = 3a$ であるから、

$L_n = 3a (\frac{4}{3})^n = a \cdot 3^{1-n} \cdot 4^n$

(2) 面積 $S_n$ について考える。

$D_{n-1}$ の1辺に対して、1辺の長さが $l/3$ の正三角形が追加される。

$D_{n-1}$ は全部で $L_{n-1} / l$ 個の辺を持つので、ステップ $n$ で追加される正三角形の数は $L_{n-1} / l$ である。

$D_n$ では $D_{n-1}$ のすべての辺を折れ線に置き換えるので、辺の数は $D_{n-1}$ の3倍になる。

したがって、$D_n$ は $3 \times 4^n$ 個の辺を持つ。

$D_n$ に追加される面積を $\Delta S_n$ とすると、$\Delta S_n = (\text{追加される正三角形の数}) \times (\text{正三角形の面積})$。

$D_{n-1}$ の辺の数は $3 \cdot 4^{n-1}$ であり、各辺は長さが $a / 3^{n}$ の正三角形に置き換えられるので、面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} (a/3^n)^2$ となる。

したがって、

$\Delta S_n = (3 \cdot 4^{n-1}) \times \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{a}{3^n} \right)^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{4^{n-1}}{9^n} a^2 = \frac{\sqrt{3}a^2}{12} \left( \frac{4}{9} \right)^{n-1}$.

$S_n = S_{n-1} + \Delta S_n$ より、

$S_n = S_0 + \sum_{k=1}^{n} \Delta S_k = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{3} a^2}{12} \left( \frac{4}{9} \right)^{k-1}$

$= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3} a^2}{12} \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{4}{9} \right)^{k} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3} a^2}{12} \frac{1 - (4/9)^n}{1 - 4/9}$

$= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3} a^2}{12} \frac{1 - (4/9)^n}{5/9} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3 \sqrt{3} a^2}{20} \left( 1 - \left( \frac{4}{9} \right)^n \right)$.

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3 \sqrt{3} a^2}{20} \left( 1 - \left( \frac{4}{9} \right)^n \right) \right] = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3 \sqrt{3}}{20} a^2 = \frac{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{20} a^2 = \frac{8 \sqrt{3}}{20} a^2 = \frac{2 \sqrt{3}}{5} a^2$.

3. 最終的な答え

(1) $L_n = a \cdot 3^{1-n} \cdot 4^n$

(2) $S_n = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3 \sqrt{3} a^2}{20} \left( 1 - \left( \frac{4}{9} \right)^n \right)$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{2 \sqrt{3}}{5} a^2$