与えられた式を計算します。 $|2\sqrt{2} - \pi| + |\frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}|$

1. 問題の内容

与えられた式を計算します。

$|2\sqrt{2} - \pi| + |\frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}|$

2. 解き方の手順

まず、$2\sqrt{2}$ と $\pi$ の大小関係を調べます。$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$2\sqrt{2} \approx 2.828$ です。一方、$\pi \approx 3.14$ なので、$2\sqrt{2} < \pi$ です。したがって、$2\sqrt{2} - \pi < 0$ なので、

$|2\sqrt{2} - \pi| = \pi - 2\sqrt{2}$

次に、$\frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$ を計算します。分母の有理化を行います。

$\frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 2}{1 - 2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{-1} = -3 - 2\sqrt{2}$

したがって、

$|\frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}| = |-3 - 2\sqrt{2}| = |-(3 + 2\sqrt{2})| = 3 + 2\sqrt{2}$

最後に、これらの結果を足し合わせます。

$|2\sqrt{2} - \pi| + |\frac{1 + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}| = (\pi - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = \pi - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} = \pi + 3$

3. 最終的な答え

$\pi + 3$