初項が50、公差が-3である等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。$a_n \geq 0$ を満たす $n$ の最大値を求め、そのときの $S_n$ の値を求めてください。

1. 問題の内容

初項が50、公差が-3である等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とします。$a_n \geq 0$ を満たす $n$ の最大値を求め、そのときの $S_n$ の値を求めてください。

2. 解き方の手順

まず、一般項 $a_n$ を求めます。等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表されるので、$a_1 = 50$、 $d = -3$ を代入すると、

$a_n = 50 + (n-1)(-3) = 50 - 3n + 3 = 53 - 3n$

となります。

$a_n \geq 0$ を満たす $n$ の範囲を求めます。

$53 - 3n \geq 0$

$3n \leq 53$

$n \leq \frac{53}{3}$

$\frac{53}{3} = 17.666...$ なので、$n$ は整数であるから、$n \leq 17$ となります。したがって、$a_n \geq 0$ を満たす最大の $n$ は 17 です。

次に、$n = 17$ のときの $S_{17}$ の値を求めます。等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ なので、

$S_{17} = \frac{17}{2}(a_1 + a_{17}) = \frac{17}{2}(50 + (53 - 3 \times 17)) = \frac{17}{2}(50 + (53 - 51)) = \frac{17}{2}(50 + 2) = \frac{17}{2}(52) = 17 \times 26 = 442$

となります。

3. 最終的な答え

$n = 17$

$S_{17} = 442$