数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = 2n^2 + 5n$で表されるとき、一般項$a_n$を求める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = 2n^2 + 5n$で表されるとき、一般項$a_n$を求める問題です。

2. 解き方の手順

$n \ge 2$のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$で求められます。

$S_n = 2n^2 + 5n$なので、

$S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 5(n-1) = 2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5 = 2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5 = 2n^2 + n - 3$

したがって、

$a_n = (2n^2 + 5n) - (2n^2 + n - 3) = 4n + 3$ ($n \ge 2$)

$n = 1$のとき、$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) = 2 + 5 = 7$

$4n + 3$に$n = 1$を代入すると、$4(1) + 3 = 7$なので、$a_n = 4n + 3$は$n = 1$のときも成立します。

よって、一般項$a_n$は$a_n = 4n + 3$となります。

3. 最終的な答え

$4n+3$