2次方程式 $2x^2 - x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$(\alpha + 3)(\beta + 3)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$(\alpha + 3)(\beta + 3)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用する。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

が成り立つ。

与えられた2次方程式 $2x^2 - x - 4 = 0$ について、$a=2, b=-1, c=-4$ であるから、

$\alpha + \beta = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$

$\alpha\beta = \frac{-4}{2} = -2$

となる。

次に、$(\alpha + 3)(\beta + 3)$ を展開する。

$(\alpha + 3)(\beta + 3) = \alpha\beta + 3\alpha + 3\beta + 9 = \alpha\beta + 3(\alpha + \beta) + 9$

この式に $\alpha + \beta = \frac{1}{2}, \alpha\beta = -2$ を代入すると、

$(\alpha + 3)(\beta + 3) = -2 + 3(\frac{1}{2}) + 9 = -2 + \frac{3}{2} + 9 = 7 + \frac{3}{2} = \frac{14}{2} + \frac{3}{2} = \frac{17}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{17}{2}$