与えられた数列の和を計算する問題です。 具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(2k+3)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。

具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(2k+3)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、総和の中身を展開します。

$(k-1)(2k+3) = 2k^2 + 3k - 2k - 3 = 2k^2 + k - 3$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(2k+3) = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k - 3)$

和の性質を用いて、各項に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k - 3) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - 3\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらを代入すると、

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - 3\sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 3n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2} - 3n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2} - \frac{18n}{6}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - 18n}{6}$

$= \frac{n[2(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 18]}{6}$

$= \frac{n[2(2n^2+3n+1) + 3n+3 - 18]}{6}$

$= \frac{n[4n^2 + 6n + 2 + 3n - 15]}{6}$

$= \frac{n(4n^2 + 9n - 13)}{6}$

$= \frac{n(n-1)(4n+13)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(4n+13)}{6}$