与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ を、交代行列と対称行列の和として表現します。

## 問題3

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ を、交代行列と対称行列の和として表現します。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の転置行列 $A^T$ を求めます。

$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

次に、対称行列 $S = \frac{1}{2}(A + A^T)$ を計算します。

$S = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3/2 & 2 \\ 3/2 & 2 & 5/2 \\ 2 & 5/2 & 3 \end{bmatrix}$

次に、交代行列 $W = \frac{1}{2}(A - A^T)$ を計算します。

$W = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1/2 & -1 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 1 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}$

最後に、$A = S + W$ となることを確認します。

3. 最終的な答え

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3/2 & 2 \\ 3/2 & 2 & 5/2 \\ 2 & 5/2 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -1/2 & -1 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 1 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}$

## 問題4

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$ について、(1) $(AB)^T$ と (2) $B^T A^T$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) まず、$AB$ を計算します。

$AB = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(2) + (-1)(0) + (2)(3) & (1)(4) + (-1)(1) + (2)(0) \\ (-1)(2) + (0)(0) + (3)(3) & (-1)(4) + (0)(1) + (3)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 7 & -4 \end{bmatrix}$

次に、$(AB)^T$ を計算します。

$(AB)^T = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$

(2) まず、$A^T$ と $B^T$ を計算します。

$A^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

$B^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

次に、$B^T A^T$ を計算します。

$B^T A^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(1) + (0)(-1) + (3)(2) & (2)(-1) + (0)(0) + (3)(3) \\ (4)(1) + (1)(-1) + (0)(2) & (4)(-1) + (1)(0) + (0)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $(AB)^T = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$

(2) $B^T A^T = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$