複素数の割り算を行う問題です。具体的には、以下の3つの複素数の割り算を計算します。 (1) $\frac{3+i}{1+2i}$ (2) $\frac{2-i}{2+i}$ (3) $\frac{3+i}{2-i}$

1. 問題の内容

複素数の割り算を行う問題です。具体的には、以下の3つの複素数の割り算を計算します。

(1) $\frac{3+i}{1+2i}$

(2) $\frac{2-i}{2+i}$

(3) $\frac{3+i}{2-i}$

2. 解き方の手順

複素数の割り算は、分母の共役複素数を分母と分子の両方に掛けることで計算します。

(1) $\frac{3+i}{1+2i}$ の場合：

分母の共役複素数は $1-2i$ です。

$\frac{3+i}{1+2i} = \frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

$= \frac{3 - 6i + i - 2i^2}{1 - 4i^2}$

$i^2 = -1$ より、

$= \frac{3 - 5i + 2}{1 + 4}$

$= \frac{5 - 5i}{5}$

$= 1 - i$

(2) $\frac{2-i}{2+i}$ の場合：

分母の共役複素数は $2-i$ です。

$\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$

$= \frac{4 - 4i + i^2}{4 - i^2}$

$i^2 = -1$ より、

$= \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1}$

$= \frac{3 - 4i}{5}$

$= \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(3) $\frac{3+i}{2-i}$ の場合：

分母の共役複素数は $2+i$ です。

$\frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}$

$= \frac{6 + 3i + 2i + i^2}{4 - i^2}$

$i^2 = -1$ より、

$= \frac{6 + 5i - 1}{4 + 1}$

$= \frac{5 + 5i}{5}$

$= 1 + i$

3. 最終的な答え

(1) $1 - i$

(2) $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(3) $1 + i$