$x = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき、$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき、$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

次に、$\frac{y}{x}$ と $\frac{x}{y}$ を計算します。

$\frac{y}{x} = \frac{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{5+2\sqrt{15}+3}{5-3} = \frac{8+2\sqrt{15}}{2} = 4+\sqrt{15}$

$\frac{x}{y} = \frac{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{5-2\sqrt{15}+3}{5-3} = \frac{8-2\sqrt{15}}{2} = 4-\sqrt{15}$

最後に、$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ を計算します。

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = (4+\sqrt{15}) + (4-\sqrt{15}) = 4 + \sqrt{15} + 4 - \sqrt{15} = 8$

3. 最終的な答え

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 8$