与えられた二次関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。

はい、承知いたしました。二次関数の最大値・最小値を求める問題ですね。以下に、各問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた二次関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。次に、指定された定義域内で、頂点の座標と定義域の端点の$y$座標を比較し、最大値と最小値を決定します。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$)

平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 1$

頂点の座標は $(1, -1)$ です。

定義域は $0 \le x \le 3$ なので、$x = 0, 1, 3$ での $y$ の値を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1$

$x = 3$ のとき、$y = 2(3)^2 - 4(3) + 1 = 18 - 12 + 1 = 7$

したがって、最小値は $-1$ ($x = 1$ のとき)、最大値は $7$ ($x = 3$ のとき) です。

(2) $y = -x^2 - 2x + 1$ ($2 \le x < 4$)

平方完成します。

$y = -(x^2 + 2x) + 1$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x + 1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x + 1)^2 + 2$

頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

定義域は $2 \le x < 4$ なので、$x = 2$ での $y$ の値を計算します。

$x = 2$ のとき、$y = -(2)^2 - 2(2) + 1 = -4 - 4 + 1 = -7$

$x = 4$ に近づくとき、$y = -(4+1)^2+2 = -25+2 = -23$

頂点の $x$ 座標 $(-1)$ は定義域に含まれないため、定義域の両端での値を考慮します。

$x = 2$ のとき、$y = -7$

$x = 4$ に近づくとき、$y$ は $-23$ に近づきます。

したがって、最大値は $-7$ ($x = 2$ のとき) であり、最小値はありません。

(3) $y = 2x^2 + 4x + 7$ ($-3 \le x \le 0$)

平方完成します。

$y = 2(x^2 + 2x) + 7$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 7$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 + 7$

$y = 2(x + 1)^2 + 5$

頂点の座標は $(-1, 5)$ です。

定義域は $-3 \le x \le 0$ なので、$x = -3, -1, 0$ での $y$ の値を計算します。

$x = -3$ のとき、$y = 2(-3)^2 + 4(-3) + 7 = 18 - 12 + 7 = 13$

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1)^2 + 4(-1) + 7 = 2 - 4 + 7 = 5$

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 + 4(0) + 7 = 7$

したがって、最小値は $5$ ($x = -1$ のとき)、最大値は $13$ ($x = -3$ のとき) です。

(4) $y = -2x^2 - 8x - 5$ ($3 < x \le 4$)

平方完成します。

$y = -2(x^2 + 4x) - 5$

$y = -2(x^2 + 4x + 4 - 4) - 5$

$y = -2(x + 2)^2 + 8 - 5$

$y = -2(x + 2)^2 + 3$

頂点の座標は $(-2, 3)$ です。

定義域は $3 < x \le 4$ なので、$x = 4$ での $y$ の値を計算します。

$x = 4$ のとき、$y = -2(4)^2 - 8(4) - 5 = -32 - 32 - 5 = -69$

$x = 3$ に近づくとき、$y = -2(3+2)^2+3 = -50+3 = -47$

頂点の $x$ 座標 $(-2)$ は定義域に含まれないため、定義域の両端での値を考慮します。

$x = 4$ のとき、$y = -69$

$x = 3$ に近づくとき、$y$ は $-47$ に近づきます。

したがって、最大値はありません。最小値は $-69$ ($x = 4$ のとき) です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 7 ($x = 3$ のとき), 最小値: -1 ($x = 1$ のとき)

(2) 最大値: -7 ($x = 2$ のとき), 最小値: なし

(3) 最大値: 13 ($x = -3$ のとき), 最小値: 5 ($x = -1$ のとき)

(4) 最大値: なし, 最小値: -69 ($x = 4$ のとき)