与えられた4次式 $3x^4 + x^2 - 2$ を、有理数、実数、複素数の各範囲で因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $3x^4 + x^2 - 2$ を、有理数、実数、複素数の各範囲で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = y$ とおくと、与式は $3y^2 + y - 2$ となる。この2次式を因数分解する。

$3y^2 + y - 2 = (3y - 2)(y + 1)$

したがって、

$3x^4 + x^2 - 2 = (3x^2 - 2)(x^2 + 1)$

となる。

(ア) 有理数の範囲

$3x^2 - 2$ を有理数の範囲で因数分解できないので、ここで止める。

よって、有理数の範囲では

$3x^4 + x^2 - 2 = (3x^2 - 2)(x^2 + 1)$

(イ) 実数の範囲

$3x^2 - 2 = 0$ となる実数解は $x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ であるから、

$3x^2 - 2 = 3(x - \frac{\sqrt{6}}{3})(x + \frac{\sqrt{6}}{3})$

$x^2 + 1 = 0$ となる実数解は存在しないので、

$x^2 + 1$ はそのまま。

したがって、実数の範囲では

$3x^4 + x^2 - 2 = 3(x - \frac{\sqrt{6}}{3})(x + \frac{\sqrt{6}}{3})(x^2 + 1)$

(ウ) 複素数の範囲

$x^2 + 1 = 0$ となる複素数解は $x = \pm i$ であるから、

$x^2 + 1 = (x - i)(x + i)$

したがって、複素数の範囲では

$3x^4 + x^2 - 2 = 3(x - \frac{\sqrt{6}}{3})(x + \frac{\sqrt{6}}{3})(x - i)(x + i)$

3. 最終的な答え

(ア) 有理数の範囲： $(3x^2 - 2)(x^2 + 1)$

(イ) 実数の範囲： $3(x - \frac{\sqrt{6}}{3})(x + \frac{\sqrt{6}}{3})(x^2 + 1)$

(ウ) 複素数の範囲： $3(x - \frac{\sqrt{6}}{3})(x + \frac{\sqrt{6}}{3})(x - i)(x + i)$