$\sqrt{7 - \sqrt{48}}$ を簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{7 - \sqrt{48}}$ を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{48}$ を簡単にします。

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$

次に、二重根号を外すことを試みます。$\sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$ を用いる方法もありますが、ここでは別の方法を使います。

$7 - 4\sqrt{3}$ を $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ の形にできるか考えます。

$7 - 4\sqrt{3} = x^2 + y^2 - 2xy$

$2xy = 4\sqrt{3}$とすると、$xy = 2\sqrt{3}$

$x = 2$, $y = \sqrt{3}$ とすると、$x^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$ となり、条件を満たします。

したがって、$7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$ と書けます。

ここで、$2 > \sqrt{3}$ なので、$2 - \sqrt{3} > 0$ であることに注意します。

すると、$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3}$