以下の4つの不等式をそれぞれ証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。 (1) $x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$ (2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$ (3) $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a + b}{2})^2$ (4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ (ただし、$a \neq 0$)

## 問題の解答

1. 問題の内容

以下の4つの不等式をそれぞれ証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。

(1) $x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$

(3) $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a + b}{2})^2$

(4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ (ただし、$a \neq 0$)

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式の右辺を左辺に移項します。

$x^2 + y^2 - 2(x + y - 1) \ge 0$

$x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2 \ge 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) \ge 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \ge 0$

実数の二乗は必ず0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$x - 1 = 0$ かつ $y - 1 = 0$ のとき、つまり $x = 1$ かつ $y = 1$ のときです。

(2)

式を平方完成します。

$x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$

$(x^2 + 2xy + y^2) + y^2 \ge 0$

$(x + y)^2 + y^2 \ge 0$

実数の二乗は必ず0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$x + y = 0$ かつ $y = 0$ のとき、つまり $x = 0$ かつ $y = 0$ のときです。

(3)

まず、不等式の右辺を展開します。

$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a + b}{2})^2$

$\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}$

両辺に4をかけます。

$2(a^2 + b^2) \ge a^2 + 2ab + b^2$

$2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \ge 0$

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

$(a - b)^2 \ge 0$

実数の二乗は必ず0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$a - b = 0$ のとき、つまり $a = b$ のときです。

(4)

相加相乗平均の不等式を利用します。$a^2 > 0$ であるから、

$a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2 \sqrt{a^2 \cdot \frac{1}{a^2}}$

$a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2 \sqrt{1}$

$a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$

等号が成り立つのは、$a^2 = \frac{1}{a^2}$ のとき、つまり $a^4 = 1$ となり、$a = \pm 1$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) 不等式は常に成り立つ。等号成立条件：$x = 1$ かつ $y = 1$

(2) 不等式は常に成り立つ。等号成立条件：$x = 0$ かつ $y = 0$

(3) 不等式は常に成り立つ。等号成立条件：$a = b$

(4) 不等式は常に成り立つ。等号成立条件：$a = 1$ または $a = -1$