以下に、与えられた行列の行列式を計算します。
1. 問題の内容
与えられた7つの行列の行列式を計算してください。
2. 解き方の手順
(1) 2x2行列の場合、行列式は対角成分の積から反対角成分の積を引いたものです。
\begin{vmatrix}
5 & 1234 \\
0 & 7
\end{vmatrix} = 5 \times 7 - 1234 \times 0 = 35
(2) 3x3行列の場合、行列式を計算できます。
\begin{vmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
2 & 1 & 5
\end{vmatrix} = 3 \times \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 3 \times (-2 \times 5 - 0 \times 1) = 3 \times (-10) = -30
(3) 3x3行列の場合、行列式を計算できます。
\begin{vmatrix}
3 & 5 & -7 \\
0 & -2 & 2 \\
0 & 1 & 3
\end{vmatrix} = 3 \times \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 5 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + (-7) \times \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3((-2)(3) - (2)(1)) - 5(0) - 7(0) = 3(-6-2) = 3(-8) = -24
(4) 対角行列の場合、行列式は対角成分の積です。
\begin{vmatrix}
3 & 1 & -9 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{vmatrix} = 3 \times (-1) \times 2 \times (-3) = 18
(5) 4x4行列の場合、行列式を計算できます。
\begin{vmatrix}
5 & 9 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
9 & 7 & 0 & -3 \\
3 & -6 & 1 & 2
\end{vmatrix} = 5 \times \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & -3 \\ -6 & 1 & 2 \end{vmatrix} - 9 \times \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & -3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 5(2(0-(-3))) - 9(0) = 5(2(3)) = 5(6) = 30
(6) 4x4行列の場合、行列式を計算できます。
\begin{vmatrix}
-1 & -3 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -3
\end{vmatrix} = -1 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = -1(1(-3-0) - (-1)(-6-0) + 1(2-1)) = -1(-3 - 6 + 1) = -1(-8) = 8
(7) 行列式を計算します。最初の3行を見ると、最後の3列はすべてゼロなので、行列式を簡略化できます。上三角行列のように扱うこともできます。
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 2 & 2 & 1 & -3 & -1 \\
7 & 0 & 2 & 2 & -2 & 0 \\
0 & 9 & 8 & -4 & 1 & 3
\end{vmatrix}
最初の3行と列のみを考慮すると、
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
4 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 3
\end{vmatrix} = 1(0-1) - 1(12-3) + 1(4-0) = -1 -9 + 4 = -6
下側の3x3行列を計算します。
\begin{vmatrix}
1 & -3 & -1 \\
2 & -2 & 0 \\
-4 & 1 & 3
\end{vmatrix} = 1(-6 - 0) - (-3)(6-0) + (-1)(2-8) = -6 + 18 + 6 = 18
したがって、行列式は です。
3. 最終的な答え
(1) 35
(2) -30
(3) -24
(4) 18
(5) 30
(6) 8
(7) -108