与えられた一次関数について、指定された定義域におけるグラフを描き、値域、最大値、最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた一次関数について、指定された定義域におけるグラフを描き、値域、最大値、最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で解きます。

(a) 定義域の両端の値（$x$ の最小値と最大値）を関数に代入し、$y$ の値を計算します。

(b) 計算された $y$ の値から値域を求めます。$y$ の最小値と最大値が値域の範囲となります。

(c) $y$ の最大値と最小値をそれぞれ求めます。

例として (1) $y = 2x - 3$ $(-1 \le x \le 4)$ を解きます。

(a) $x = -1$ のとき、$y = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5$

$x = 4$ のとき、$y = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5$

(b) 値域は $-5 \le y \le 5$

(c) 最大値: $5$ ($x=4$ のとき)

最小値: $-5$ ($x=-1$ のとき)

同様の手順で、他の関数も解きます。

(2) $y = -2x + 3$ $(-1 \le x \le 2)$

$x = -1$ のとき、$y = -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$

$x = 2$ のとき、$y = -2(2) + 3 = -4 + 3 = -1$

値域: $-1 \le y \le 5$

最大値: $5$ ($x=-1$ のとき)

最小値: $-1$ ($x=2$ のとき)

(3) $y = -3x + 4$ $(0 \le x \le 2)$

$x = 0$ のとき、$y = -3(0) + 4 = 4$

$x = 2$ のとき、$y = -3(2) + 4 = -6 + 4 = -2$

値域: $-2 \le y \le 4$

最大値: $4$ ($x=0$ のとき)

最小値: $-2$ ($x=2$ のとき)

(4) $y = x + 2$ $(-2 \le x \le 1)$

$x = -2$ のとき、$y = -2 + 2 = 0$

$x = 1$ のとき、$y = 1 + 2 = 3$

値域: $0 \le y \le 3$

最大値: $3$ ($x=1$ のとき)

最小値: $0$ ($x=-2$ のとき)

(5) $y = \frac{1}{2}x + 4$ $(-2 \le x \le 2)$

$x = -2$ のとき、$y = \frac{1}{2}(-2) + 4 = -1 + 4 = 3$

$x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{2}(2) + 4 = 1 + 4 = 5$

値域: $3 \le y \le 5$

最大値: $5$ ($x=2$ のとき)

最小値: $3$ ($x=-2$ のとき)

(6) $y = -\frac{1}{2}x + 1$ $(0 \le x \le 4)$

$x = 0$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(0) + 1 = 1$

$x = 4$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(4) + 1 = -2 + 1 = -1$

値域: $-1 \le y \le 1$

最大値: $1$ ($x=0$ のとき)

最小値: $-1$ ($x=4$ のとき)

3. 最終的な答え

(1) 値域: $-5 \le y \le 5$, 最大値: $5$, 最小値: $-5$

(2) 値域: $-1 \le y \le 5$, 最大値: $5$, 最小値: $-1$

(3) 値域: $-2 \le y \le 4$, 最大値: $4$, 最小値: $-2$

(4) 値域: $0 \le y \le 3$, 最大値: $3$, 最小値: $0$

(5) 値域: $3 \le y \le 5$, 最大値: $5$, 最小値: $3$

(6) 値域: $-1 \le y \le 1$, 最大値: $1$, 最小値: $-1$