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与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。4つの小問があり、それぞれ以下の条件が与えられています。 (1) 頂点が $(2, -3)$ で、点 $(1, -1)$ を通る。 (2) 頂点が $(2, -1)$ で、点 $(0, 3)$ を通る。 (3) 3点 $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$ を通る。 (4) 3点 $(-1, 0)$, $(1, 6)$, $(2, 6)$ を通る。

代数学二次関数2次関数二次方程式頂点連立方程式
2025/6/9

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。4つの小問があり、それぞれ以下の条件が与えられています。
(1) 頂点が (2,−3)(2, -3) で、点 (1,−1)(1, -1) を通る。
(2) 頂点が (2,−1)(2, -1) で、点 (0,3)(0, 3) を通る。
(3) 3点 (0,3)(0, 3), (1,0)(1, 0), (2,−1)(2, -1) を通る。
(4) 3点 (−1,0)(-1, 0), (1,6)(1, 6), (2,6)(2, 6) を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標が分かっているので、2次関数を y=a(x−p)2+qy = a(x - p)^2 + q の形でおきます。ここで、(p,q)(p, q) は頂点の座標です。
頂点が (2,−3)(2, -3) なので、y=a(x−2)2−3y = a(x - 2)^2 - 3 となります。
この関数が点 (1,−1)(1, -1) を通るので、x=1x = 1, y=−1y = -1 を代入して aa を求めます。
−1=a(1−2)2−3-1 = a(1 - 2)^2 - 3
−1=a−3-1 = a - 3
a=2a = 2
よって、y=2(x−2)2−3y = 2(x - 2)^2 - 3 となります。
展開すると y=2(x2−4x+4)−3=2x2−8x+8−3=2x2−8x+5y = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5 となります。
(2) 頂点の座標が分かっているので、2次関数を y=a(x−p)2+qy = a(x - p)^2 + q の形でおきます。
頂点が (2,−1)(2, -1) なので、y=a(x−2)2−1y = a(x - 2)^2 - 1 となります。
この関数が点 (0,3)(0, 3) を通るので、x=0x = 0, y=3y = 3 を代入して aa を求めます。
3=a(0−2)2−13 = a(0 - 2)^2 - 1
3=4a−13 = 4a - 1
4a=44a = 4
a=1a = 1
よって、y=(x−2)2−1y = (x - 2)^2 - 1 となります。
展開すると y=x2−4x+4−1=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3 となります。
(3) 3点を通る2次関数なので、y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c とおきます。
それぞれの点を代入して連立方程式を解きます。
(0,3)(0, 3) を通るので、3=a(0)2+b(0)+c3 = a(0)^2 + b(0) + c より c=3c = 3
(1,0)(1, 0) を通るので、0=a(1)2+b(1)+c0 = a(1)^2 + b(1) + c より a+b+c=0a + b + c = 0
(2,−1)(2, -1) を通るので、−1=a(2)2+b(2)+c-1 = a(2)^2 + b(2) + c より 4a+2b+c=−14a + 2b + c = -1
c=3c = 3 を代入すると、
a+b+3=0a + b + 3 = 0 より a+b=−3a + b = -3
4a+2b+3=−14a + 2b + 3 = -1 より 4a+2b=−44a + 2b = -4
2a+b=−22a + b = -2
(2a+b)−(a+b)=−2−(−3)(2a + b) - (a + b) = -2 - (-3)
a=1a = 1
1+b=−31 + b = -3 より b=−4b = -4
よって、y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 となります。
(4) 3点を通る2次関数なので、y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c とおきます。
それぞれの点を代入して連立方程式を解きます。
(−1,0)(-1, 0) を通るので、0=a(−1)2+b(−1)+c0 = a(-1)^2 + b(-1) + c より a−b+c=0a - b + c = 0
(1,6)(1, 6) を通るので、6=a(1)2+b(1)+c6 = a(1)^2 + b(1) + c より a+b+c=6a + b + c = 6
(2,6)(2, 6) を通るので、6=a(2)2+b(2)+c6 = a(2)^2 + b(2) + c より 4a+2b+c=64a + 2b + c = 6
(a+b+c)−(a−b+c)=6−0(a + b + c) - (a - b + c) = 6 - 0
2b=62b = 6
b=3b = 3
a+3+c=6a + 3 + c = 6 より a+c=3a + c = 3
4a+2(3)+c=64a + 2(3) + c = 6 より 4a+c=04a + c = 0
(4a+c)−(a+c)=0−3(4a + c) - (a + c) = 0 - 3
3a=−33a = -3
a=−1a = -1
−1+c=3-1 + c = 3 より c=4c = 4
よって、y=−x2+3x+4y = -x^2 + 3x + 4 となります。

3. 最終的な答え

(1) y=2x2−8x+5y = 2x^2 - 8x + 5
(2) y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3
(3) y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3
(4) y=−x2+3x+4y = -x^2 + 3x + 4

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