次の同次連立一次方程式が非自明な解を持つような $a$ の値を求め、その場合の非自明な解を求める。 $\begin{cases} -x + y + az = 0 \\ 5x - 2y + 15z = 0 \\ 4x - y + (a+15)z = 0 \\ (a+1)x + y - 6z = 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の同次連立一次方程式が非自明な解を持つような $a$ の値を求め、その場合の非自明な解を求める。

$\begin{cases}

-x + y + az = 0 \\

5x - 2y + 15z = 0 \\

4x - y + (a+15)z = 0 \\

(a+1)x + y - 6z = 0

\end{cases}$

2. 解き方の手順

連立方程式を行列で表現する。

$A = \begin{pmatrix}

-1 & 1 & a \\

5 & -2 & 15 \\

4 & -1 & a+15 \\

a+1 & 1 & -6

\end{pmatrix}$

連立方程式が非自明な解を持つためには、行列 $A$ のランクが未知数の数（ここでは3）より小さくなければならない。まず、行列式 $|A| = 0$ となる $a$ の値を求めることを考える。しかし、$4 \times 3$ 行列なので、行列式は定義できない。

代わりに、第1式、第2式、第3式からなる $3 \times 3$ 部分行列を考える。

$A' = \begin{pmatrix}

-1 & 1 & a \\

5 & -2 & 15 \\

4 & -1 & a+15

\end{pmatrix}$

$|A'| = -1(-2(a+15) - (-15)) - 1(5(a+15) - 4(15)) + a(5(-1) - 4(-2)) \\

= -1(-2a - 30 + 15) - 1(5a + 75 - 60) + a(-5 + 8) \\

= 2a + 15 - 5a - 15 + 3a \\

= 0$

この行列式は常に0なので、$a$ がどのような値でも、第1式、第2式、第3式は線形従属である。

次に、第1式、第2式から $x$ と $y$ を $z$ で表す。

$-x + y + az = 0$ より $y = x - az$

$5x - 2y + 15z = 0$ に代入して $5x - 2(x - az) + 15z = 0$

$3x + (2a + 15)z = 0$

$x = -\frac{2a+15}{3} z$

$y = x - az = -\frac{2a+15}{3} z - az = -\frac{2a+15+3a}{3} z = -\frac{5a+15}{3} z = -\frac{5(a+3)}{3}z$

これを第4式に代入する。

$(a+1)x + y - 6z = 0$

$(a+1) (-\frac{2a+15}{3} z) - \frac{5(a+3)}{3} z - 6z = 0$

$-\frac{(a+1)(2a+15)}{3} - \frac{5(a+3)}{3} - 6 = 0$

$-(a+1)(2a+15) - 5(a+3) - 18 = 0$

$-(2a^2 + 17a + 15) - 5a - 15 - 18 = 0$

$-2a^2 - 17a - 15 - 5a - 33 = 0$

$-2a^2 - 22a - 48 = 0$

$a^2 + 11a + 24 = 0$

$(a+3)(a+8) = 0$

$a = -3, -8$

$a = -3$ のとき

$x = -\frac{2(-3)+15}{3} z = -\frac{9}{3} z = -3z$

$y = -\frac{5(-3+3)}{3} z = 0$

$(-3z, 0, z)$

$a = -8$ のとき

$x = -\frac{2(-8)+15}{3} z = -\frac{-1}{3} z = \frac{1}{3}z$

$y = -\frac{5(-8+3)}{3} z = -\frac{-25}{3}z = \frac{25}{3}z$

$(\frac{1}{3}z, \frac{25}{3}z, z)$

3. 最終的な答え

$a = -3$ のとき、解は $(-3z, 0, z)$ （$z$ は任意の実数、ただし $z \neq 0$）

$a = -8$ のとき、解は $(\frac{1}{3}z, \frac{25}{3}z, z)$ （$z$ は任意の実数、ただし $z \neq 0$）

言い換えると、$a = -3$ のとき、解は $(-3, 0, 1)$ の定数倍。

$a = -8$ のとき、解は $(1, 25, 3)$ の定数倍。