2次方程式 $9x^2 + 6x + k + 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの $k$ の値の範囲と、重解を持つときの重解の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $9x^2 + 6x + k + 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの $k$ の値の範囲と、重解を持つときの重解の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ であることです。

与えられた方程式 $9x^2 + 6x + k + 3 = 0$ において、$a = 9$, $b = 6$, $c = k + 3$ です。

判別式 $D$ は、

$D = 6^2 - 4(9)(k + 3) = 36 - 36(k + 3) = 36 - 36k - 108 = -36k - 72$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ である必要があるので、

$-36k - 72 > 0$

$-36k > 72$

$k < -2$

(2) 重解を持つときの $k$ の値と重解

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D = 0$ であることです。

したがって、

$-36k - 72 = 0$

$-36k = 72$

$k = -2$

$k = -2$ を元の2次方程式に代入すると、

$9x^2 + 6x + (-2) + 3 = 0$

$9x^2 + 6x + 1 = 0$

$(3x + 1)^2 = 0$

$3x + 1 = 0$

$x = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$k < -2$

重解は $x = -\frac{1}{3}$