与えられた問題は $\sqrt{7-\sqrt{48}}$ を簡略化することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は $\sqrt{7-\sqrt{48}}$ を簡略化することです。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{48}$ を簡略化します。48は $16 \times 3$ と分解できるので、$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ となります。

したがって、問題は $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ を簡略化することになります。

次に、$7-4\sqrt{3}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ の形にすることを考えます。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b = (a+b) - 2\sqrt{ab}$ であるため、$a+b = 7$ かつ $2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3}$ となる $a$ と $b$ を見つける必要があります。

$2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3}$ より、$\sqrt{ab} = 2\sqrt{3}$ なので、$ab = 4 \times 3 = 12$ です。

$a+b=7$ かつ $ab=12$ を満たす $a$ と $b$ は $a=4$ と $b=3$ (またはその逆) です。

したがって、$7-4\sqrt{3} = (4+3) - 2\sqrt{4 \times 3} = (\sqrt{4}-\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$ となります。

元の式に戻ると、$\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}|$ となります。

$2=\sqrt{4}$ であり、$\sqrt{4}>\sqrt{3}$ より、$2-\sqrt{3}>0$ なので、$|2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$2-\sqrt{3}$