$V$ はベクトル空間、$W_1$, $W_2$ は $V$ の部分空間とする。$W_1 \cup W_2$ が $V$ の部分空間ならば、$W_1 \subseteq W_2$ または $W_1 \supseteq W_2$ となることを示せ。

1. 問題の内容

$V$ はベクトル空間、$W_1$, $W_2$ は $V$ の部分空間とする。$W_1 \cup W_2$ が $V$ の部分空間ならば、$W_1 \subseteq W_2$ または $W_1 \supseteq W_2$ となることを示せ。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。$W_1 \subseteq W_2$ でも $W_1 \supseteq W_2$ でもないと仮定する。このとき、$W_1$ に属するが $W_2$ に属さないベクトル $w_1$ と、$W_2$ に属するが $W_1$ に属さないベクトル $w_2$ が存在する。すなわち、

$w_1 \in W_1$ かつ $w_1 \notin W_2$

$w_2 \in W_2$ かつ $w_2 \notin W_1$

$W_1 \cup W_2$ は $V$ の部分空間であると仮定しているため、$w_1 + w_2 \in W_1 \cup W_2$ である。したがって、$w_1 + w_2 \in W_1$ または $w_1 + w_2 \in W_2$ が成り立つ。

(i) $w_1 + w_2 \in W_1$ のとき:

$w_1 \in W_1$ であり、$W_1$ は部分空間なので、

$(w_1 + w_2) - w_1 = w_2 \in W_1$

しかし、$w_2 \notin W_1$ であるから矛盾する。

(ii) $w_1 + w_2 \in W_2$ のとき:

$w_2 \in W_2$ であり、$W_2$ は部分空間なので、

$(w_1 + w_2) - w_2 = w_1 \in W_2$

しかし、$w_1 \notin W_2$ であるから矛盾する。

いずれの場合も矛盾が生じるので、$W_1 \subseteq W_2$ または $W_1 \supseteq W_2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$W_1 \cup W_2$ が $V$ の部分空間ならば、$W_1 \subseteq W_2$ または $W_1 \supseteq W_2$ である。