問題は、与えられた集合 $W$ がベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定することです。具体的には、以下の2つの集合について判定します。 (1) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\}$ (2) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1\}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた集合 $W$ がベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定することです。具体的には、以下の2つの集合について判定します。

(1) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\}$

(2) $W = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1\}$

2. 解き方の手順

部分空間であるかどうかを判定するためには、以下の3つの条件を確認する必要があります。

(1) 零ベクトル $0$ が $W$ に含まれるか。

(2) $W$ の任意の2つのベクトル $u, v$ に対して、$u + v$ が $W$ に含まれるか（加法について閉じているか）。

(3) $W$ の任意のベクトル $u$ と任意のスカラー $c$ に対して、$cu$ が $W$ に含まれるか（スカラー倍について閉じているか）。

(1) の集合 $W$ について:

(1) 零ベクトル $(0, 0, 0)$ を与えられた方程式に代入すると、$0 + 0 - 0 = 0$ と $3(0) + 0 + 2(0) = 0$ となり、どちらの式も満たします。したがって、零ベクトルは $W$ に含まれます。

(2) $u = (u_1, u_2, u_3)$ と $v = (v_1, v_2, v_3)$ を $W$ の任意の2つのベクトルとします。

このとき、$u_1 + u_2 - u_3 = 0$ かつ $3u_1 + u_2 + 2u_3 = 0$であり、$v_1 + v_2 - v_3 = 0$ かつ $3v_1 + v_2 + 2v_3 = 0$が成り立ちます。

$u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)$ を考えます。

$(u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) - (u_3 + v_3) = (u_1 + u_2 - u_3) + (v_1 + v_2 - v_3) = 0 + 0 = 0$

$3(u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) + 2(u_3 + v_3) = (3u_1 + u_2 + 2u_3) + (3v_1 + v_2 + 2v_3) = 0 + 0 = 0$

したがって、$u + v$ も $W$ に含まれます。

(3) $u = (u_1, u_2, u_3)$ を $W$ の任意のベクトルとし、$c$ を任意のスカラーとします。

このとき、$u_1 + u_2 - u_3 = 0$ かつ $3u_1 + u_2 + 2u_3 = 0$が成り立ちます。

$cu = (cu_1, cu_2, cu_3)$ を考えます。

$(cu_1) + (cu_2) - (cu_3) = c(u_1 + u_2 - u_3) = c(0) = 0$

$3(cu_1) + (cu_2) + 2(cu_3) = c(3u_1 + u_2 + 2u_3) = c(0) = 0$

したがって、$cu$ も $W$ に含まれます。

したがって、(1)の $W$ は部分空間です。

(2) の集合 $W$ について:

零ベクトル $(0, 0, 0)$ を与えられた不等式に代入すると、$2(0) - 3(0) + 0 = 0 \le 1$ と $3(0) + 0 + 2(0) = 0 \le 1$ となり、どちらの不等式も満たします。したがって、零ベクトルは $W$ に含まれます。

しかし、例えば、$x = (1,0,0)$ を考えます。このとき、$2(1) - 3(0) + 0 = 2 > 1$なので $x$ は$W$ に含まれません。また、$x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0$ のとき、$2*0 - 3*0 + 0 = 0 \le 1$ と $3*0 + 0 + 2*0 = 0 \le 1$ が成り立つので、原点は $W$ に含まれます。

次に、$x = (0,0,0)$は$W$に含まれます。$cx = (0,0,0)$なので、$W$に含まれます。

$u = (0,0,1)$, $v=(0,0,1)$とします。このとき、$2u_1 - 3u_2 + u_3 = 1 \le 1$、$3u_1 + u_2 + 2u_3 = 2 \le 1$を満たしません。また$v=(0,0,1)$も$2v_1 - 3v_2 + v_3 = 1 \le 1$、$3v_1 + v_2 + 2v_3 = 2 \le 1$を満たしません。 $u+v = (0,0,2)$のとき、$2(0)-3(0)+2 = 2 \le 1$を満たしません。よって、$W$は和について閉じていません。

不等式によって定義されているため、スカラー倍に関して閉じているとは限りません。例えば、$x = (0,0,1)$ は $2(0)-3(0)+1 = 1 \le 1$ かつ $3(0)+0+2(1) = 2 \le 1$を満たさないため$W$に含まれません。

しかし $1/2(0,0,1) = (0,0,1/2)$であれば、$W$の条件を満たします。

例えば $W$ が $\mathbb{R}^3$ の部分空間であると仮定します。

$x = (0, 0, 1)$ を考えます。

$2(0) - 3(0) + 1 = 1 \le 1$ を満たしますが、$3(0) + 0 + 2(1) = 2 \le 1$ を満たしません。

したがって、$x = (0, 0, 1)$ は $W$ に含まれません。

よって、$W$はベクトル空間ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $W$ は部分空間である。

(2) $W$ は部分空間ではない。