与えられた集合の要素を全て重複なく答える問題です。要素がない場合はその旨を答えます。また、$\mathbb{Z}_{\ge 0}$ は非負の整数の集合を意味します。

1. 問題の内容

与えられた集合の要素を全て重複なく答える問題です。要素がない場合はその旨を答えます。また、$\mathbb{Z}_{\ge 0}$ は非負の整数の集合を意味します。

2. 解き方の手順

(1) $\{x \in \mathbb{Z} | 1 \le x \le 3, 2 \le x \le 4\}$

これは $1 \le x \le 3$ かつ $2 \le x \le 4$ を満たす整数の集合なので、$2 \le x \le 3$ となり、$x = 2, 3$ が要素となります。

(2) $\{x \in \mathbb{Z} | 1 \le x \le 2, 3 \le x \le 4\}$

これは $1 \le x \le 2$ かつ $3 \le x \le 4$ を満たす整数の集合なので、共通部分はありません。したがって、要素はありません。

(3) $\{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 | 1 \le x \le 2, 3 \le y \le 4\}$

これは $1 \le x \le 2$ かつ $3 \le y \le 4$ を満たす整数の組 $(x, y)$ の集合なので、$x = 1, 2$ と $y = 3, 4$ の組み合わせを考えます。

要素は $(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)$ となります。

(4) $\{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{\ge 0} | x^2 + y^2 = 25\}$

これは $x$ は整数、$y$ は非負の整数で、$x^2 + y^2 = 25$ を満たす組 $(x, y)$ の集合です。

$y^2 = 25 - x^2 \ge 0$ より、$x^2 \le 25$ なので、$-5 \le x \le 5$ です。

それぞれの $x$ に対して、$y = \sqrt{25 - x^2}$ が非負の整数になるものを探します。

$x = -5$ のとき、$y = 0$

$x = -4$ のとき、$y = 3$

$x = -3$ のとき、$y = 4$

$x = 0$ のとき、$y = 5$

$x = 3$ のとき、$y = 4$

$x = 4$ のとき、$y = 3$

$x = 5$ のとき、$y = 0$

要素は $(-5, 0), (-4, 3), (-3, 4), (0, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0)$ となります。

(5) $\{x^2 | x \in \mathbb{Z}, 1 \le |x| \le 2\}$

これは $1 \le |x| \le 2$ を満たす整数 $x$ に対して、$x^2$ を計算し、それらを要素とする集合です。

$1 \le |x| \le 2$ より、$x = -2, -1, 1, 2$ です。

それぞれの $x$ に対して $x^2$ は、 $(-2)^2 = 4, (-1)^2 = 1, 1^2 = 1, 2^2 = 4$ となります。

重複をなくすと、要素は $1, 4$ となります。

(6) $\{\frac{1}{x} | x \in \mathbb{Z}, 1 \le |x| \le 2\}$

これは $1 \le |x| \le 2$ を満たす整数 $x$ に対して、$\frac{1}{x}$ を計算し、それらを要素とする集合です。

$1 \le |x| \le 2$ より、$x = -2, -1, 1, 2$ です。

それぞれの $x$ に対して $\frac{1}{x}$ は、 $-\frac{1}{2}, -1, 1, \frac{1}{2}$ となります。

要素は $-\frac{1}{2}, -1, 1, \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\{2, 3\}$

(2) 要素はない

(3) $\{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$

(4) $\{(-5, 0), (-4, 3), (-3, 4), (0, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0)\}$

(5) $\{1, 4\}$

(6) $\{-\frac{1}{2}, -1, 1, \frac{1}{2}\}$