与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 1)$ を計算することです。つまり、$k=1$ から $k=n$ までの $k^3 - 1$ の和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 1)$ を計算することです。つまり、$k=1$ から $k=n$ までの $k^3 - 1$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、和を分解します。

$$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 1) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 1$$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^3$ と $\sum_{k=1}^{n} 1$ をそれぞれ計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k^3$ は、立方数の和の公式を用いて計算できます。

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

$\sum_{k=1}^{n} 1$ は、$1$ を $n$ 回足し合わせるので、

$$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$$

したがって、

$$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 1) = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 - n$$

これを整理します。

$$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 1) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - n = \frac{n^2(n^2 + 2n + 1)}{4} - \frac{4n}{4} = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2 - 4n}{4}$$

$$=\frac{n(n^3 + 2n^2 + n - 4)}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{n^4 + 2n^3 + n^2 - 4n}{4}$ または $\frac{n(n^3 + 2n^2 + n - 4)}{4}$