$a > 0$ のとき、不等式 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある問題の中から、4.33の(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、不等式 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用します。$a > 0$ なので、$a$ と $\frac{1}{a}$ は正の数です。

相加平均・相乗平均の不等式より、

$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \geq \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}$

$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \geq \sqrt{1}$

$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \geq 1$

両辺を2倍して、

$a + \frac{1}{a} \geq 2$

したがって、不等式 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ が成り立つことが証明されました。

次に、等号が成り立つ条件を求めます。

相加平均と相乗平均の不等式において、等号が成り立つのは、$a = \frac{1}{a}$ のときです。

$a = \frac{1}{a}$

両辺に$a$をかけて、

$a^2 = 1$

$a > 0$ であるから、

$a = 1$

したがって、等号が成り立つのは $a = 1$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ は成り立つ。

等号が成り立つのは $a = 1$ のとき。