2次方程式 $x^2 + 10x + m = 0$ について、1つの解が他の解の4倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 10x + m = 0$ について、1つの解が他の解の4倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$ と $4\alpha$ とおく。

解と係数の関係より、

\begin{align*} \label{eq:1} \alpha + 4\alpha &= -10 \\ \alpha \cdot 4\alpha &= m \end{align*}

1つ目の式より、

$$5\alpha = -10$$

$$\alpha = -2$$

これを2つ目の式に代入すると、

$$m = 4\alpha^2 = 4(-2)^2 = 4(4) = 16$$

したがって、$m=16$ である。

このとき、2つの解は $\alpha = -2$ と $4\alpha = 4(-2) = -8$ である。

3. 最終的な答え

$m = 16$

2つの解は $x = -2, -8$