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与えられた数学の問題は、有理化、因数分解、不等式、二次方程式、三角形の角度、順列・円順列、必要条件・十分条件、平均値・分散に関するものです。具体的には以下の8つの小問があります。 (1) $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} + \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ を計算する。 (2) $2x^2 - xy - 6y^2$ を因数分解する。 (3) 不等式 $4(2-x) \le 3(x+3)$ を解く。 (4) 方程式 $x^2 + ax + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB = 3, BC = 7, CA = 5$ のとき、$\angle A$ の大きさを求める。 (6) 5人が1列に並ぶ場合の数と、輪の形に並ぶ場合の数を求める。 (7) $x^2 - x - 6 < 0$ であることは $x < 3$ であるための必要条件、十分条件のどれに当てはまるか答える。 (8) 5人の生徒のテストの得点 $2, 3, 5, 6, 9$ の平均値と分散を求める。

代数学有理化因数分解不等式二次方程式判別式余弦定理順列円順列必要条件十分条件平均値分散
2025/6/8

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、有理化、因数分解、不等式、二次方程式、三角形の角度、順列・円順列、必要条件・十分条件、平均値・分散に関するものです。具体的には以下の8つの小問があります。
(1) 2−12+1+2+12−1\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} + \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} を計算する。
(2) 2x2−xy−6y22x^2 - xy - 6y^2 を因数分解する。
(3) 不等式 4(2−x)≤3(x+3)4(2-x) \le 3(x+3) を解く。
(4) 方程式 x2+ax+2=0x^2 + ax + 2 = 0 が異なる2つの実数解を持つような aa の値の範囲を求める。
(5) △ABC\triangle ABC において、AB=3,BC=7,CA=5AB = 3, BC = 7, CA = 5 のとき、∠A\angle A の大きさを求める。
(6) 5人が1列に並ぶ場合の数と、輪の形に並ぶ場合の数を求める。
(7) x2−x−6<0x^2 - x - 6 < 0 であることは x<3x < 3 であるための必要条件、十分条件のどれに当てはまるか答える。
(8) 5人の生徒のテストの得点 2,3,5,6,92, 3, 5, 6, 9 の平均値と分散を求める。

2. 解き方の手順

(1) 分母を有理化し、通分して計算します。
2−12+1+2+12−1=(2−1)2(2+1)(2−1)+(2+1)2(2−1)(2+1)=(2−1)2+(2+1)22−1=(2−1)2+(2+1)2=(2−22+1)+(2+22+1)=6\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} + \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} + \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2+(\sqrt{2}+1)^2}{2-1} = (\sqrt{2}-1)^2 + (\sqrt{2}+1)^2 = (2 - 2\sqrt{2} + 1) + (2 + 2\sqrt{2} + 1) = 6
(2) 与式を因数分解します。
2x2−xy−6y2=(2x+3y)(x−2y)2x^2 - xy - 6y^2 = (2x + 3y)(x - 2y)
(3) 不等式を整理して解きます。
4(2−x)≤3(x+3)⇒8−4x≤3x+9⇒−1≤7x⇒x≥−174(2-x) \le 3(x+3) \Rightarrow 8 - 4x \le 3x + 9 \Rightarrow -1 \le 7x \Rightarrow x \ge -\frac{1}{7}
(4) 二次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は判別式 D>0D > 0 であることです。
D=a2−4(1)(2)=a2−8>0⇒a2>8⇒a<−22D = a^2 - 4(1)(2) = a^2 - 8 > 0 \Rightarrow a^2 > 8 \Rightarrow a < -2\sqrt{2} または a>22a > 2\sqrt{2}
(5) 余弦定理を使って cos⁡A\cos A を求め、∠A\angle A を求めます。
cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC=32+52−722⋅3⋅5=9+25−4930=−1530=−12\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}
∠A=120∘\angle A = 120^{\circ}
(6) 5人が1列に並ぶ場合の数は 5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 通りです。5人が輪の形に並ぶ場合の数は (5−1)!=4!=4×3×2×1=24(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 通りです。
(7) x2−x−6<0⇒(x−3)(x+2)<0⇒−2<x<3x^2 - x - 6 < 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) < 0 \Rightarrow -2 < x < 3。x<3x < 3 であるための必要条件であるが、十分条件ではない。よって、ア。
(8) 平均値は 2+3+5+6+95=255=5\frac{2+3+5+6+9}{5} = \frac{25}{5} = 5。分散は (2−5)2+(3−5)2+(5−5)2+(6−5)2+(9−5)25=9+4+0+1+165=305=6\frac{(2-5)^2 + (3-5)^2 + (5-5)^2 + (6-5)^2 + (9-5)^2}{5} = \frac{9 + 4 + 0 + 1 + 16}{5} = \frac{30}{5} = 6。

3. 最終的な答え

(1) 6
(2) (2x+3y)(x−2y)(2x + 3y)(x - 2y)
(3) x≥−17x \ge -\frac{1}{7}
(4) a<−22a < -2\sqrt{2} または a>22a > 2\sqrt{2}
(5) 120∘120^{\circ}
(6) ① 120, ② 24
(7) ア
(8) ① 5, ② 6

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