複素数 $z$ に関する次の方程式を満たす点全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。 (1) $|z + 2i| = 2$ (2) $|z + 1| = 2|z - i|$

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する次の方程式を満たす点全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。

(1) $|z + 2i| = 2$

(2) $|z + 1| = 2|z - i|$

2. 解き方の手順

(1)

$|z + 2i| = 2$ は、$z$ が $-2i$ からの距離が 2 である点を表します。したがって、これは中心が $-2i$ で半径が 2 の円を表します。

(2)

$|z + 1| = 2|z - i|$

$z = x + yi$ とおくと、

$|x + yi + 1| = 2|x + yi - i|$

$|(x+1) + yi| = 2|x + (y-1)i|$

$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = 2\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$

両辺を2乗すると

$(x+1)^2 + y^2 = 4(x^2 + (y-1)^2)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 + y^2 - 2y + 1)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 - 8y + 4$

$3x^2 - 2x + 3y^2 - 8y + 3 = 0$

$3(x^2 - \frac{2}{3}x) + 3(y^2 - \frac{8}{3}y) + 3 = 0$

$x^2 - \frac{2}{3}x + y^2 - \frac{8}{3}y + 1 = 0$

$(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9} + (y - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9} + 1 = 0$

$(x - \frac{1}{3})^2 + (y - \frac{4}{3})^2 = \frac{1}{9} + \frac{16}{9} - 1$

$(x - \frac{1}{3})^2 + (y - \frac{4}{3})^2 = \frac{17}{9} - \frac{9}{9}$

$(x - \frac{1}{3})^2 + (y - \frac{4}{3})^2 = \frac{8}{9}$

これは中心が $\frac{1}{3} + \frac{4}{3}i$ で半径が $\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心が $-2i$ で半径が 2 の円

(2) 中心が $\frac{1}{3} + \frac{4}{3}i$ で半径が $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ の円