因数分解の公式 $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ を利用して、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) が成り立つとき、$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

因数分解の公式 $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ を利用して、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) が成り立つとき、$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた $\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$ を利用して、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求めます。

両辺を2乗すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{4}{9}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$

次に、因数分解の公式 $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ を利用して、$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ を変形します。

$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = (\sin \theta - \cos \theta)(\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta - \cos \theta)(1 + \sin \theta \cos \theta)$

$= (\sin \theta - \cos \theta)\left(1 - \frac{5}{18}\right)$

$= (\sin \theta - \cos \theta)\left(\frac{13}{18}\right)$

ここで、$(\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算します。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$= 1 - 2\sin \theta \cos \theta = 1 - 2\left(-\frac{5}{18}\right) = 1 + \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{14}{9}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{3}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$の範囲では、$\sin \theta$は正の値を取ります。 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$であることから、$\theta$は鋭角に近い角度であると推測できます。$\sin \theta$が正で、$\cos \theta$は正または負の値を取ります。

$\sin \theta - \cos \theta$ の符号について考えます。$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3} > 0$ なので、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ のどちらが大きいかによって符号が変わります。$\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18} < 0$ なので、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ は異符号である必要があります。$0 < \theta < 180$より、$\sin \theta > 0$ なので、$\cos \theta < 0$ となります。したがって、$\sin \theta - \cos \theta > 0$ となります。

よって、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{14}}{3}$

$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = (\sin \theta - \cos \theta)\left(\frac{13}{18}\right) = \frac{\sqrt{14}}{3} \cdot \frac{13}{18} = \frac{13\sqrt{14}}{54}$

3. 最終的な答え

$\frac{13\sqrt{14}}{54}$