2直線 $x-y+1=0$ と $3x+2y-12=0$ の交点を通る直線で、以下の条件を満たすものをそれぞれ求めます。 (1) 直線 $5x-6y-8=0$ に平行な直線 (2) 直線 $5x-6y-8=0$ に垂直な直線

1. 問題の内容

2直線 $x-y+1=0$ と $3x+2y-12=0$ の交点を通る直線で、以下の条件を満たすものをそれぞれ求めます。

(1) 直線 $5x-6y-8=0$ に平行な直線

(2) 直線 $5x-6y-8=0$ に垂直な直線

2. 解き方の手順

まず、2直線 $x-y+1=0$ と $3x+2y-12=0$ の交点を求めます。

次に、その交点を通る直線の一般形を $k(x-y+1) + (3x+2y-12) = 0$ と表します。（$k$ は実数）

(1) 平行条件：直線 $5x-6y-8=0$ に平行な直線は、傾きが等しくなります。直線の傾きを求め、一般形の直線の傾きが等しくなるように $k$ の値を決定します。

(2) 垂直条件：直線 $5x-6y-8=0$ に垂直な直線は、傾きの積が $-1$ になります。直線の傾きを求め、一般形の直線の傾きとの積が $-1$ になるように $k$ の値を決定します。

交点を求める:

$x - y + 1 = 0$ ...(1)

$3x + 2y - 12 = 0$ ...(2)

(1)より $y = x + 1$

(2)に代入して

$3x + 2(x+1) - 12 = 0$

$3x + 2x + 2 - 12 = 0$

$5x - 10 = 0$

$5x = 10$

$x = 2$

$y = x + 1 = 2 + 1 = 3$

よって交点は $(2, 3)$

交点 $(2, 3)$ を通る直線は $k(x-y+1) + (3x+2y-12) = 0$ と表せる。

$(k+3)x + (-k+2)y + (k-12) = 0$

(1) $5x - 6y - 8 = 0$ と平行な場合

傾きは $\frac{5}{6}$ なので、$(-k+2) \neq 0$ のとき、

$\frac{-(k+3)}{-k+2} = \frac{5}{6}$

$6(k+3) = 5(k-2)$

$6k + 18 = 5k - 10$

$k = -28$

$(-28+3)x + (28+2)y + (-28-12) = 0$

$-25x + 30y - 40 = 0$

$5x - 6y + 8 = 0$

(2) $5x - 6y - 8 = 0$ と垂直な場合

傾きは $\frac{5}{6}$ なので、垂直な直線の傾きは $-\frac{6}{5}$

$\frac{-(k+3)}{-k+2} = -\frac{6}{5}$

$5(k+3) = -6(k-2)$

$5k + 15 = -6k + 12$

$11k = -3$

$k = -\frac{3}{11}$

$(-\frac{3}{11}+3)x + (\frac{3}{11}+2)y + (-\frac{3}{11}-12) = 0$

$\frac{30}{11}x + \frac{25}{11}y - \frac{135}{11} = 0$

$30x + 25y - 135 = 0$

$6x + 5y - 27 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $5x - 6y + 8 = 0$

(2) $6x + 5y - 27 = 0$