半径7cmの半円が直線 $l$ 上を点Aからすべらずに転がり、点Bで初めて反対向きになった。 (1) 半円の中心Oが通ったあとの線は、ア～ウのどれになるか。 (2) 中心Oが通ったあとの線の長さは何cmか。

1. 問題の内容

半径7cmの半円が直線 $l$ 上を点Aからすべらずに転がり、点Bで初めて反対向きになった。

(1) 半円の中心Oが通ったあとの線は、ア～ウのどれになるか。

(2) 中心Oが通ったあとの線の長さは何cmか。

2. 解き方の手順

(1)

半円が転がる際、中心Oは常に半円の半径である7cmの距離を保ちます。最初の半円が90度回転すると、中心Oは水平方向に7cm移動し、垂直方向に7cm上昇します。次の90度回転では、中心Oは水平方向に7cm移動します。最後の90度回転では、中心Oは水平方向に7cm移動し、垂直方向に7cm下降します。したがって、中心Oの軌跡は、半径7cmの四分円の円弧2つと、長さ14cmの直線で構成されます。これは選択肢のアに相当します。

(2)

中心Oが通ったあとの線の長さは、四分円の弧2つと直線部分の長さを足し合わせたものです。四分円の弧の長さは、半径7cmの円周の1/4です。したがって、四分円の弧2つの長さは、半径7cmの半円の円周に等しくなります。

半径7cmの半円の円周は、

$2 \times 7 \times \pi \times \frac{1}{2} = 7\pi$ cm。

直線部分は14cmです。

したがって、中心Oが通ったあとの線の長さは、

$7\pi + 14$ cm。

3. 最終的な答え

(1) ア

(2) $7\pi + 14$ cm