三角形ABCがあり、点Oは三角形の内部にある。角BAOは$25^\circ$、角BCOは$35^\circ$である。角ABOを$x$とおくとき、$x$の値を求める問題である。ただし、点Oは三角形ABCの外心である。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、点Oは三角形の内部にある。角BAOは$25^\circ$、角BCOは$35^\circ$である。角ABOを$x$とおくとき、$x$の値を求める問題である。ただし、点Oは三角形ABCの外心である。

2. 解き方の手順

点Oは三角形ABCの外心なので、AO, BO, COはそれぞれ三角形ABCの外接円の半径である。よって、AO=BO=COが成り立つ。

まず、三角形ABOに着目すると、AO=BOより、三角形ABOは二等辺三角形である。したがって、角ABO=角BAOである。よって、$x = 25^\circ$である。

同様に、三角形ACOに着目すると、AO=COより、三角形ACOは二等辺三角形である。角CAO=角ACOである。角BAO=$25^\circ$、角BCO=$35^\circ$なので、角CAO=角ACOを求める。

三角形ABCの内角の和は$180^\circ$なので、角BAC + 角ABC + 角BCA = $180^\circ$である。

角BAC = 角BAO + 角CAO = $25^\circ$ + 角CAO

角ABC = 角ABO = $x$ = $25^\circ$

角BCA = 角BCO = $35^\circ$

したがって、$25^\circ$ + 角CAO + $25^\circ$ + $35^\circ$ = $180^\circ$

角CAO = $180^\circ$ - $25^\circ$ - $25^\circ$ - $35^\circ$ = $95^\circ$

三角形ACOは二等辺三角形なので、角ACO = 角CAO = $95^\circ$となるはずだが、角BCOは$35^\circ$なので矛盾する。

したがって、点Oは外心ではない。問題文に外心であるという記述がなければ、この方法では解けない。

AO=BO=COが成り立つことを利用しないと解けない。

角AOB=2*角ACB、角BOC=2*角BAC、角COA=2*角ABCが成り立つ。

角ACB = $35^\circ$ + 角OCA

角BAC = $25^\circ$ + 角OAC

角ABC = $x$

角AOB = 2 * ($35^\circ$ + 角OCA)

角BOC = 2 * ($25^\circ$ + 角OAC)

角COA = 2 * $x$

角AOB + 角BOC + 角COA = $360^\circ$

2 * ($35^\circ$ + 角OCA) + 2 * ($25^\circ$ + 角OAC) + 2 * $x$ = $360^\circ$

$35^\circ$ + 角OCA + $25^\circ$ + 角OAC + $x$ = $180^\circ$

$60^\circ$ + 角OCA + 角OAC + $x$ = $180^\circ$

角OCA + 角OAC = $120^\circ$ - $x$

三角形ABCの内角の和は$180^\circ$なので、

$25^\circ$ + 角OAC + $x$ + $35^\circ$ + 角OCA = $180^\circ$

$60^\circ$ + 角OAC + 角OCA + $x$ = $180^\circ$

角OAC + 角OCA = $120^\circ$ - $x$

したがって、この条件だけでは$x$は定まらない。

3. 最終的な答え

この情報だけではxの値を確定できない。

外心の性質を使うだけでは解けない。