## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

写真の問題はベクトルの問題で、以下の3つの問題が含まれています。

1. 正六角形の図において、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$としたとき、$\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{PC}$、$\overrightarrow{CQ}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。ただし、三角形はすべて正三角形とする。

2. $\vec{a}$、$\vec{b}$はともに$\vec{0}$でなく、かつ平行でないとき、与えられた条件から変数の値を求める。

3. ベクトル$\vec{a}$, $\vec{b}$ が与えられたとき、指定されたベクトル$\vec{c}$ を$\vec{a}$と$\vec{b}$ の線形結合で表す問題、3点が一直線上にある条件から変数の値を求める問題、指定されたベクトルと同じ向きの単位ベクトルを求める問題。

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2. 解き方の手順

**(1) $\overrightarrow{OP}$**

* $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$

* $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

* $\overrightarrow{BC} = \vec{a}$ (正三角形より)

* $\overrightarrow{CP} = \vec{b} - \vec{a}$ (正三角形より)

よって、

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CP} = \vec{a} + (\vec{b} - \vec{a}) + \vec{a} + (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} + 2\vec{b} -2\vec{a}= 2\vec{b}$.

**(2) $\overrightarrow{PC}$**

* $\overrightarrow{PC} = - \overrightarrow{CP} = -(\vec{b}-\vec{a}) = \vec{a}-\vec{b}$

**(3) $\overrightarrow{CQ}$**

* $\overrightarrow{CO} = - \overrightarrow{OC}$

* $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}= \vec{a} + 2\vec{b}$

$\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OQ} = -(\vec{a}+2\vec{b}) + (2\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a}- \vec{b}$

**(4) $sa+tb=0$ ならば $s=t=0$**

$\vec{a}$と$\vec{b}$は平行でないため、$s$と$t$が同時に0でないと、$s\vec{a} + t\vec{b} = \vec{0}$は成立しません。

$s\vec{a} = -t\vec{b}$となり$\vec{a}$と$\vec{b}$が平行になってしまうため。

したがって、$s=t=0$となります。

**(5) $x(a-2b)+y(-a+b)=4a-7b$**

与えられた式を展開すると、

$xa - 2xb - ya + yb = 4a - 7b$

$(x-y)a + (-2x+y)b = 4a - 7b$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較すると、

$x-y = 4$

$-2x+y = -7$

上記の連立方程式を解くと、

$x = 3$

$y = -1$

**(6) $\overrightarrow{OP}=\vec{a}+2\vec{b}$, $\overrightarrow{OQ}=3\vec{a}-\vec{b}$, $\overrightarrow{OR}=-2\vec{a}+t\vec{b}$**

P, Q, R が同一直線上にあるとき、$t$の値を求める。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (3\vec{a} - \vec{b}) - (\vec{a} + 2\vec{b}) = 2\vec{a} - 3\vec{b}$

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = (-2\vec{a} + t\vec{b}) - (\vec{a} + 2\vec{b}) = -3\vec{a} + (t-2)\vec{b}$

P, Q, Rが同一直線上にあるとき、$\overrightarrow{PR} = k \overrightarrow{PQ}$となる実数$k$が存在する。

$-3\vec{a} + (t-2)\vec{b} = k(2\vec{a} - 3\vec{b}) = 2k\vec{a} - 3k\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較すると、

$-3 = 2k$

$t-2 = -3k$

$k = -\frac{3}{2}$

$t = 2 - 3k = 2 - 3(-\frac{3}{2}) = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}$

**(7) $\vec{a}=(2, -3)$, $\vec{b}=(3, 1)$, $\vec{c}=(-1, 4)$ を $s\vec{a}+t\vec{b}$ の形で表す。**

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$

$(-1, 4) = s(2, -3) + t(3, 1)$

$(-1, 4) = (2s+3t, -3s+t)$

$2s+3t = -1$

$-3s+t = 4$

この連立方程式を解くと、

$s = -13/11$, $t = 7/11$

よって$\vec{c} = -\frac{13}{11}\vec{a} + \frac{7}{11}\vec{b}$

**(8) $\overrightarrow{OA} = (1, m)$, $\overrightarrow{OB} = (m-6, 2m-15)$ とする。3点O, A, Bが一直線上にあるときのmの値を求める。**

3点が同一直線上にある条件より、$\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OA}$ となる実数kが存在する。

$(m-6, 2m-15) = k(1, m) = (k, km)$

$m-6 = k$

$2m-15 = km$

$m-6 = k$を$2m-15 = km$に代入すると、

$2m-15 = (m-6)m$

$2m-15 = m^2 - 6m$

$m^2 - 8m + 15 = 0$

$(m-3)(m-5) = 0$

$m=3, 5$

**(9) $\vec{p}=(\frac{1}{2}, -\frac{1}{3})$ とする。$\vec{p}$と同じ向きの単位ベクトルを求める。**

$\vec{p}$の大きさ $|\vec{p}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9+4}{36}} = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6}$

$\vec{p}$と同じ向きの単位ベクトルは、$\frac{\vec{p}}{|\vec{p}|} = \frac{(\frac{1}{2}, -\frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{13}}{6}} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}}, -\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}}) = (\frac{3}{\sqrt{13}}, -\frac{2}{\sqrt{13}})$

$=(\frac{3\sqrt{13}}{13}, -\frac{2\sqrt{13}}{13})$

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3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OP} = 2\vec{b} - \vec{a}$

(2) $\overrightarrow{PC} = \vec{a} - \vec{b}$

(3) $\overrightarrow{CQ} = \vec{a} - \vec{b}$

(4) 証明完了

(5) $x=3$, $y=-1$

(6) $t = \frac{13}{2}$

(7) $\vec{c} = -\frac{13}{11}\vec{a} + \frac{7}{11}\vec{b}$

(8) $m = 3, 5$

(9) $(\frac{3\sqrt{13}}{13}, -\frac{2\sqrt{13}}{13})$