問題文は、(9)式の $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ から、(10)式の $x = D \cos(\omega t + \delta)$ もしくは (11)式の $x = E \sin(\omega t + \phi)$ への変換を示すことを求めています。

1. 問題の内容

問題文は、(9)式の $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ から、(10)式の $x = D \cos(\omega t + \delta)$ もしくは (11)式の $x = E \sin(\omega t + \phi)$ への変換を示すことを求めています。

2. 解き方の手順

(9)式から(10)式への変換を示す。

まず、(10)式を展開します。加法定理 $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ より、

$x = D \cos(\omega t + \delta) = D \cos(\omega t) \cos(\delta) - D \sin(\omega t) \sin(\delta)$

この式を(9)式 $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ と比較すると、

$A = D \cos(\delta)$

$B = -D \sin(\delta)$

という関係が得られます。これらの式から$D$と$\delta$を求めます。

$A^2 + B^2 = (D \cos(\delta))^2 + (-D \sin(\delta))^2 = D^2 (\cos^2(\delta) + \sin^2(\delta)) = D^2$

よって、$D = \sqrt{A^2 + B^2}$

$\frac{B}{A} = \frac{-D \sin(\delta)}{D \cos(\delta)} = -\tan(\delta)$

よって、$\tan(\delta) = -\frac{B}{A}$

$\delta = \arctan(-\frac{B}{A})$

(9)式から(11)式への変換を示す。

同様に、(11)式を展開します。加法定理 $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ より、

$x = E \sin(\omega t + \phi) = E \sin(\omega t) \cos(\phi) + E \cos(\omega t) \sin(\phi)$

この式を(9)式 $x = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ と比較すると、

$A = E \sin(\phi)$

$B = E \cos(\phi)$

という関係が得られます。これらの式から$E$と$\phi$を求めます。

$A^2 + B^2 = (E \sin(\phi))^2 + (E \cos(\phi))^2 = E^2 (\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi)) = E^2$

よって、$E = \sqrt{A^2 + B^2}$

$\frac{A}{B} = \frac{E \sin(\phi)}{E \cos(\phi)} = \tan(\phi)$

よって、$\phi = \arctan(\frac{A}{B})$

3. 最終的な答え

(9)式から(10)式への変換:

$D = \sqrt{A^2 + B^2}$

$\delta = \arctan(-\frac{B}{A})$

(9)式から(11)式への変換:

$E = \sqrt{A^2 + B^2}$

$\phi = \arctan(\frac{A}{B})$