(1) 不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ について、以下の問題を解く。 - $x=3$ が不等式を満たすときの、$a$ の値の範囲を求める。 - 不等式を満たす実数 $x$ が存在するときの、$a$ の値の範囲と、そのときの不等式の解を求める。 (2) 正の数 $x$ に対して $\frac{5x+19}{2}$ を計算し、その小数第1位を四捨五入すると、整数 $7x+1$ に等しくなる。このような正の数 $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ について、以下の問題を解く。

- $x=3$ が不等式を満たすときの、$a$ の値の範囲を求める。

- 不等式を満たす実数 $x$ が存在するときの、$a$ の値の範囲と、そのときの不等式の解を求める。

(2) 正の数 $x$ に対して $\frac{5x+19}{2}$ を計算し、その小数第1位を四捨五入すると、整数 $7x+1$ に等しくなる。このような正の数 $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $x=3$ を不等式に代入する。

$\frac{3+a}{2} < 3+2 < \frac{2(3)+2a+7}{3}$

$\frac{3+a}{2} < 5 < \frac{13+2a}{3}$

まず、$\frac{3+a}{2} < 5$ より、

$3+a < 10$

$a < 7$

次に、$5 < \frac{13+2a}{3}$ より、

$15 < 13+2a$

$2 < 2a$

$1 < a$

したがって、$1 < a < 7$

(ii) $\frac{x+a}{2} < x+2$ より、

$x+a < 2x+4$

$x > a-4$

$x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ より、

$3x+6 < 2x+2a+7$

$x < 2a+1$

したがって、$a-4 < x < 2a+1$

不等式を満たす実数 $x$ が存在するためには、$a-4 < 2a+1$ でなければならない。

$-5 < a$

$a > -5$

このとき、不等式の解は $a-4 < x < 2a+1$ となる。

(2) $\frac{5x+19}{2}$ の小数第1位を四捨五入したものが $7x+1$ に等しいので、

$7x+1 - 0.5 \le \frac{5x+19}{2} < 7x+1 + 0.5$

$7x+0.5 \le \frac{5x+19}{2} < 7x+1.5$

$14x+1 \le 5x+19 < 14x+3$

$14x+1 \le 5x+19$ より、

$9x \le 18$

$x \le 2$

$5x+19 < 14x+3$ より、

$16 < 9x$

$x > \frac{16}{9}$

したがって、$\frac{16}{9} < x \le 2$

$x$ は正の数であるから、$x = \frac{17}{9}$のとき、$\frac{5x+19}{2} = \frac{5(\frac{17}{9})+19}{2} = \frac{\frac{85}{9}+\frac{171}{9}}{2} = \frac{256}{18} = \frac{128}{9} \approx 14.22$

$7x+1 = 7(\frac{17}{9})+1 = \frac{119}{9}+\frac{9}{9} = \frac{128}{9} \approx 14.22$

四捨五入すると14になる。

$x=2$ のとき、$\frac{5x+19}{2} = \frac{10+19}{2} = \frac{29}{2} = 14.5$

$7x+1 = 14+1 = 15$

四捨五入すると15になる。

$7x+0.5 \le \frac{5x+19}{2} < 7x+1.5$

$14x+1 \le 5x+19 < 14x+3$

$14x+1 \le 5x+19$

$9x \le 18$

$x \le 2$

$5x+19 < 14x+3$

$16 < 9x$

$\frac{16}{9} < x \le 2$

整数解は存在しない。

$7x+1 - 0.5 \le \frac{5x+19}{2} < 7x+1 + 0.5$

$7x+0.5 \le \frac{5x+19}{2} < 7x+1.5$

$14x+1 \le 5x+19 < 14x+3$

Case 1: $\frac{5x+19}{2} = 7x+1$.

$5x+19 = 14x+2$

$17 = 9x$

$x = \frac{17}{9}$

$\frac{5(\frac{17}{9}) + 19}{2} = \frac{128}{9} = 14.222...$

$\frac{17}{9}$の時、四捨五入すると14となる。

$7(\frac{17}{9}) + 1 = \frac{128}{9} = 14.222...$

Case 2: $\frac{5x+19}{2} = 15$.

$5x+19 = 30$

$5x = 11$

$x = \frac{11}{5} = 2.2$

$\frac{5(2.2)+19}{2} = \frac{11+19}{2} = 15$

$7(2.2)+1 = 15.4+1 = 16.4$

$7(2.2)+1 = 16.4$

四捨五入した値は16になる。

従って $x = 17/9$

Case 3: 四捨五入して整数になる場合

$\frac{5x+19}{2}=7x+1$

$5x+19=14x+2$

$9x=17$

$x=\frac{17}{9}$

$\frac{17}{9}=1.888...$

3. 最終的な答え

ア：1

イ：7

ウエ：-5

オ：4

カ：2

キ：1

クケ：17

コ：9

サ：2