次の式を簡単にせよ。 (1) $\sqrt{15}\sqrt{24}$ (2) $\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{16}$ (3) $81^{\frac{3}{8}}$ (4) $2^{\frac{2}{3}}4^{\frac{1}{6}}$ (5) $\log_2 12 - \log_4 18$ (6) $\log_3 8 \cdot \log_4 9$

はい、承知いたしました。画像にある6つの問題を解きます。

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{15}\sqrt{24}$

(2) $\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{16}$

(3) $81^{\frac{3}{8}}$

(4) $2^{\frac{2}{3}}4^{\frac{1}{6}}$

(5) $\log_2 12 - \log_4 18$

(6) $\log_3 8 \cdot \log_4 9$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{15}\sqrt{24}$

まず、根号の中身を掛け合わせます。

$\sqrt{15}\sqrt{24} = \sqrt{15 \times 24} = \sqrt{360}$

次に、360を素因数分解します。$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$

よって、$\sqrt{360} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 2 \times 5} = 2 \times 3 \sqrt{2 \times 5} = 6\sqrt{10}$

(2) $\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{16}$

まず、根号の中身を掛け合わせます。

$\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4 \times 16} = \sqrt[3]{64}$

$64 = 4^3$なので、$\sqrt[3]{64} = 4$

(3) $81^{\frac{3}{8}}$

$81 = 3^4$なので、$81^{\frac{3}{8}} = (3^4)^{\frac{3}{8}} = 3^{\frac{4 \times 3}{8}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$3^{\frac{3}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^1 \times 3^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{3}$

(4) $2^{\frac{2}{3}}4^{\frac{1}{6}}$

$4 = 2^2$なので、$4^{\frac{1}{6}} = (2^2)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{3}}$

よって、$2^{\frac{2}{3}}4^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$

(5) $\log_2 12 - \log_4 18$

底を2に統一します。$\log_4 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 4} = \frac{\log_2 18}{2}$

$\log_2 12 - \log_4 18 = \log_2 12 - \frac{1}{2}\log_2 18 = \log_2 12 - \log_2 \sqrt{18} = \log_2 \frac{12}{\sqrt{18}}$

$\frac{12}{\sqrt{18}} = \frac{12}{\sqrt{9 \times 2}} = \frac{12}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

$\log_2 \frac{12}{\sqrt{18}} = \log_2 2\sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

(6) $\log_3 8 \cdot \log_4 9$

底の変換公式を使って、常用対数で表します。

$\log_3 8 = \frac{\log 8}{\log 3}$

$\log_4 9 = \frac{\log 9}{\log 4}$

$\log_3 8 \cdot \log_4 9 = \frac{\log 8}{\log 3} \cdot \frac{\log 9}{\log 4} = \frac{\log 2^3}{\log 3} \cdot \frac{\log 3^2}{\log 2^2} = \frac{3\log 2}{\log 3} \cdot \frac{2\log 3}{2\log 2} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $6\sqrt{10}$

(2) $4$

(3) $3\sqrt{3}$

(4) $2$

(5) $\frac{3}{2}$

(6) $3$