与えられた3つの連立一次方程式を、拡大係数行列の基本変形を用いて解きます。 (1) $ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x + 2y + 2z = 0 \\ 4x + 7y + 7z = 1 \\ 2x + 2y + z = 6 \end{cases} $ (3) $ \begin{cases} x_1 - 2x_2 + 3x_4 = 2 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 + 2x_4 + x_5 = 2 \\ 2x_1 - 4x_2 + x_3 + 5x_4 + 2x_5 = 5 \end{cases} $

はい、承知しました。画像にある連立一次方程式を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3つの連立一次方程式を、拡大係数行列の基本変形を用いて解きます。

(1)

$$

\begin{cases}

2x + 3y = 7 \\

x - y = 1

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

x + 2y + 2z = 0 \\

4x + 7y + 7z = 1 \\

2x + 2y + z = 6

\end{cases}

$$

(3)

$$

\begin{cases}

x_1 - 2x_2 + 3x_4 = 2 \\

x_1 - 2x_2 + x_3 + 2x_4 + x_5 = 2 \\

2x_1 - 4x_2 + x_3 + 5x_4 + 2x_5 = 5

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1)

まず、連立方程式を行列で表します。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 3 & 7 \\

1 & -1 & 1

\end{bmatrix}

$$

次に、行基本変形を行います。

1行目と2行目を入れ替えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -1 & 1 \\

2 & 3 & 7

\end{bmatrix}

$$

2行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -1 & 1 \\

0 & 5 & 5

\end{bmatrix}

$$

2行目を5で割ります。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

1行目に2行目を足します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

したがって、$x = 2, y = 1$となります。

(2)

まず、連立方程式を行列で表します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 2 & 0 \\

4 & 7 & 7 & 1 \\

2 & 2 & 1 & 6

\end{bmatrix}

$$

次に、行基本変形を行います。

2行目から1行目の4倍を引きます。

3行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 2 & 0 \\

0 & -1 & -1 & 1 \\

0 & -2 & -3 & 6

\end{bmatrix}

$$

2行目に-1を掛けます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 2 & 0 \\

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & -2 & -3 & 6

\end{bmatrix}

$$

3行目に2行目の2倍を足します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 2 & 0 \\

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & -1 & 4

\end{bmatrix}

$$

3行目に-1を掛けます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 2 & 0 \\

0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 1 & -4

\end{bmatrix}

$$

2行目から3行目を引きます。

1行目から3行目の2倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & 8 \\

0 & 1 & 0 & 3 \\

0 & 0 & 1 & -4

\end{bmatrix}

$$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 3 \\

0 & 0 & 1 & -4

\end{bmatrix}

$$

したがって、$x = 2, y = 3, z = -4$となります。

(3)

まず、連立方程式を行列で表します。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & 0 & 3 & 0 & 2 \\

1 & -2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\

2 & -4 & 1 & 5 & 2 & 5

\end{bmatrix}

$$

次に、行基本変形を行います。

2行目から1行目を引きます。

3行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & 0 & 3 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 1

\end{bmatrix}

$$

3行目から2行目を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -2 & 0 & 3 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1

\end{bmatrix}

$$

したがって、$x_5 = 1, x_3 = -x_4 + 1, x_1 = 2x_2 - 3x_4 + 2$となります。

$x_2$と$x_4$は任意の値を取れるので解は無数に存在します。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, y = 1$

(2) $x = 2, y = 3, z = -4$

(3) $x_5 = 1, x_3 = -x_4 + 1, x_1 = 2x_2 - 3x_4 + 2$ ($x_2, x_4$は任意)