全体集合$U$について、$n(U) = 40$、$n(A) = 25$、$n(B) = 21$、$n(\overline{A \cap B}) = 7$であるとき、以下の値を求めよ。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(A \cap B)$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A \cap B})$ (6) $n(\overline{A \cup B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$について、$n(U) = 40$、$n(A) = 25$、$n(B) = 21$、$n(\overline{A \cap B}) = 7$であるとき、以下の値を求めよ。

(1) $n(\overline{A})$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(A \cap B)$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A \cap B})$

(6) $n(\overline{A \cup B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A})$の計算

$\overline{A}$は$A$の補集合であるため、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$で求められる。

$n(\overline{A}) = 40 - 25 = 15$

(2) $n(\overline{B})$の計算

$\overline{B}$は$B$の補集合であるため、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$で求められる。

$n(\overline{B}) = 40 - 21 = 19$

(3) $n(A \cap B)$の計算

問題文より$n(\overline{A \cap B}) = 7$となっているため、

$\overline{A \cap B}$は$A \cap B$の補集合である。

したがって、$n(A \cap B) = n(U) - n(\overline{A \cap B})$となる。

$n(A \cap B) = 40 - 7 = 33$

(4) $n(A \cup B)$の計算

和集合の要素数の公式を用いる。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 25 + 21 - 33 = 13$

(5) $n(\overline{A \cap B})$の計算

問題文より、$n(\overline{A \cap B}) = 7$

(6) $n(\overline{A \cup B})$の計算

$\overline{A \cup B}$は$A \cup B$の補集合であるため、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$で求められる。

$n(\overline{A \cup B}) = 40 - 13 = 27$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 15$

(2) $n(\overline{B}) = 19$

(3) $n(A \cap B) = 33$

(4) $n(A \cup B) = 13$

(5) $n(\overline{A \cap B}) = 7$

(6) $n(\overline{A \cup B}) = 27$