全体集合$U$において、$n(U) = 40$, $n(A) = 25$, $n(B) = 21$, $n(A \cap \overline{B}) = 7$であるとき、以下の値を求める問題です。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(\overline{A \cap B})$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A \cap B})$ (6) $n(\overline{A \cup B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$において、$n(U) = 40$, $n(A) = 25$, $n(B) = 21$, $n(A \cap \overline{B}) = 7$であるとき、以下の値を求める問題です。

(1) $n(\overline{A})$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(\overline{A \cap B})$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A \cap B})$

(6) $n(\overline{A \cup B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A})$を求める。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$の公式を利用する。

$n(\overline{A}) = 40 - 25 = 15$

(2) $n(\overline{B})$を求める。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$の公式を利用する。

$n(\overline{B}) = 40 - 21 = 19$

(3) $n(\overline{A \cap B})$を求める。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$である。ここで、$n(A \cap \overline{B}) = 7$という条件が与えられているが、$n(A \cap B)$の値は与えられていない。しかし、$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$という関係が成り立つ。したがって、$n(A \cap B) = n(A) - n(A \cap \overline{B})$である。

$n(A \cap B) = 25 - 7 = 18$

よって、$n(\overline{A \cap B}) = 40 - 18 = 22$

(4) $n(A \cup B)$を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$の公式を利用する。

$n(A \cup B) = 25 + 21 - 18 = 28$

(5) $n(\overline{A \cap B})$を求める。

これは(3)ですでに求めている。

$n(\overline{A \cap B}) = 22$

(6) $n(\overline{A \cup B})$を求める。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$の公式を利用する。

$n(\overline{A \cup B}) = 40 - 28 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 15$

(2) $n(\overline{B}) = 19$

(3) $n(\overline{A \cap B}) = 22$

(4) $n(A \cup B) = 28$

(5) $n(\overline{A \cap B}) = 22$

(6) $n(\overline{A \cup B}) = 12$