はい、了解いたしました。画像にある問題のうち、以下の3問を解きます。

はい、了解いたしました。画像にある問題のうち、以下の3問を解きます。

* 4.(3)

* 5

* 6

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1. 問題の内容**

* **4.(3)**：12人を4人、3人、3人、2人の4組に分ける方法は何通りあるか。

* **5**: 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4 の9個の数字をすべて用いてできる整数は何個あるか。

* **6**: 右のような街路がある。AからBまで最短距離で行くとき、(1)経路は全部で何通りあるか。(2)AからPを通ってBまで行く経路は何通りあるか。

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2. 解き方の手順**

* **4.(3)**：

まず、12人の中から4人を選ぶ組み合わせは $_{12}C_4$ 通り。

次に、残りの8人の中から3人を選ぶ組み合わせは $_8C_3$ 通り。

その次に、残りの5人の中から3人を選ぶ組み合わせは $_5C_3$ 通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは $_2C_2$ 通り。

ただし、3人の組が2つあるので、同じ組を選んだ順番を区別しないように2!で割る必要がある。

したがって、求める組み合わせの数は、

$$\frac{_{12}C_4 \times _8C_3 \times _5C_3 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{3!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{2!} = \frac{12!}{4!3!3!2!2!}$$

計算すると

$$\frac{12!}{4!3!3!2! \times 2} = \frac{479001600}{288 \times 2} = \frac{479001600}{144} = 3326400$$

* **5**:

9個の数字を並べる順列の総数は 9! 通り。

ただし、同じ数字が複数あるため、それぞれの数字の個数の階乗で割る必要がある。

1が4個、3が2個、4が2個あるため、

$$\frac{9!}{4!2!2!} = \frac{362880}{24 \times 2 \times 2} = \frac{362880}{96} = 3780$$

* **6**:

(1) AからBまで最短距離で行くには、右に5回、上に3回移動する必要がある。

したがって、合計8回の移動のうち、右に移動する5回の選び方を考えれば良いので、$_{8}C_5$ 通り。

$$_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

(2) AからPまで最短距離で行くには、右に2回、上に1回移動する必要がある。

したがって、合計3回の移動のうち、右に移動する2回の選び方を考えれば良いので、$_3C_2$ 通り。

$$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$$

PからBまで最短距離で行くには、右に3回、上に2回移動する必要がある。

したがって、合計5回の移動のうち、右に移動する3回の選び方を考えれば良いので、$_5C_3$ 通り。

$$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

したがって、AからPを通ってBまで行く経路は、$_3C_2 \times _5C_3 = 3 \times 10 = 30$ 通り。

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3. 最終的な答え**

* **4.(3)**：3326400 通り

* **5**: 3780 個

* **6**(1)：56 通り

* **6**(2)：30 通り