与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (i) $3x^2 - 20x + 12$ (ii) $8x^3 + 1$ (iii) $x^4 + 5x^2 - 36$ (iv) $x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(i) $3x^2 - 20x + 12$

(ii) $8x^3 + 1$

(iii) $x^4 + 5x^2 - 36$

(iv) $x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3$

2. 解き方の手順

(i) $3x^2 - 20x + 12$ の因数分解：

たすき掛けを利用して因数分解します。

$3x^2 - 20x + 12 = (3x - 2)(x - 6)$

(ii) $8x^3 + 1$ の因数分解：

$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$ の公式を利用します。

$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x + 1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

(iii) $x^4 + 5x^2 - 36$ の因数分解：

$x^2 = X$ とおくと、$X^2 + 5X - 36$ となります。

$X^2 + 5X - 36 = (X + 9)(X - 4)$

$X$ を $x^2$ に戻すと、$x^4 + 5x^2 - 36 = (x^2 + 9)(x^2 - 4) = (x^2 + 9)(x + 2)(x - 2)$

(iv) $x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3$ の因数分解：

$x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3 = x^2 + 2(y - 2)x - 6y + 3$

$x$ について平方完成します。

$x^2 + 2(y - 2)x + (y-2)^2 - (y-2)^2 - 6y + 3 = (x + y - 2)^2 - (y^2 - 4y + 4) - 6y + 3 = (x + y - 2)^2 - (y^2 + 2y + 1) = (x + y - 2)^2 - (y + 1)^2$

和と差の積の形を利用します。

$(x + y - 2)^2 - (y + 1)^2 = (x + y - 2 + y + 1)(x + y - 2 - y - 1) = (x + 2y - 1)(x - 3)$

3. 最終的な答え

(i) $(3x - 2)(x - 6)$

(ii) $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

(iii) $(x^2 + 9)(x + 2)(x - 2)$

(iv) $(x + 2y - 1)(x - 3)$