三角形OABにおいて、OA=1, OB=AB=2とする。$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$とおく。 (1) $\vec{a}\cdot\vec{b}$を求める。 (2) 角AOBの二等分線と線分ABの交点をPとするとき、$\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。また、角AOBの二等分線上の点QがAQ=BQを満たすとき、線分AQの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=1, OB=AB=2とする。$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$とおく。

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}$を求める。

(2) 角AOBの二等分線と線分ABの交点をPとするとき、$\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。また、角AOBの二等分線上の点QがAQ=BQを満たすとき、線分AQの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて$\cos{\angle AOB}$を求め、$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\angle AOB}$を計算する。

$\triangle OAB$において、余弦定理より、

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cos{\angle AOB}$

$2^2 = 1^2 + 2^2 - 2\cdot 1 \cdot 2 \cos{\angle AOB}$

$4 = 1 + 4 - 4 \cos{\angle AOB}$

$4\cos{\angle AOB} = 1$

$\cos{\angle AOB} = \frac{1}{4}$

よって、

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\angle AOB} = 1\cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

(2) 角の二等分線の性質より、AP:PB = OA:OB = 1:2。したがって、

$\overrightarrow{OP} = \frac{2\overrightarrow{OA} + 1\overrightarrow{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

問題文と一致させるためには、$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b}$となるように問題文が間違っていると推測する。

角AOBの二等分線上の点Qは、$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$より、$\overrightarrow{OQ} = k(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}) = k(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b})$と表せる。

$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OA} = k(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) - \vec{a} = (k-1)\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b}$

$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OB} = k(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) - \vec{b} = k\vec{a} + (\frac{k}{2}-1)\vec{b}$

$AQ = BQ$より、$|\overrightarrow{AQ}|^2 = |\overrightarrow{BQ}|^2$

$((k-1)\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b})^2 = (k\vec{a} + (\frac{k}{2}-1)\vec{b})^2$

$(k-1)^2|\vec{a}|^2 + k(k-1)\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{k^2}{4}|\vec{b}|^2 = k^2|\vec{a}|^2 + k(k-2)\vec{a}\cdot\vec{b} + (\frac{k}{2}-1)^2|\vec{b}|^2$

$(k-1)^2 + k(k-1)\frac{1}{2} + \frac{k^2}{4}4 = k^2 + k(k-2)\frac{1}{2} + (\frac{k}{2}-1)^24$

$k^2 - 2k + 1 + \frac{1}{2}k^2 - \frac{1}{2}k + k^2 = k^2 + \frac{1}{2}k^2 - k + 4(\frac{k^2}{4} - k + 1)$

$\frac{5}{2}k^2 - \frac{5}{2}k + 1 = \frac{5}{2}k^2 - 5k + 4$

$\frac{5}{2}k = 3$

$k = \frac{6}{5}$

$\overrightarrow{AQ} = (\frac{6}{5}-1)\vec{a} + \frac{6/5}{2}\vec{b} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$

$|\overrightarrow{AQ}|^2 = (\frac{1}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b})^2 = \frac{1}{25}|\vec{a}|^2 + \frac{6}{25}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{9}{25}|\vec{b}|^2 = \frac{1}{25} + \frac{6}{25}\cdot\frac{1}{2} + \frac{9}{25}\cdot 4 = \frac{1}{25} + \frac{3}{25} + \frac{36}{25} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5}$

$|\overrightarrow{AQ}| = \sqrt{\frac{8}{5}} = \sqrt{\frac{40}{25}} = \frac{2\sqrt{10}}{5} = \frac{2\sqrt{10}}{5} = \frac{4\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{4\sqrt{10}}{10}$