与えられた図形に関する以下の問いに答えます。 (1) $DE // BC$のとき、$DB$の長さを求めます。 (2) $M, N$がそれぞれ$AC, BC$の中点のとき、$\angle CMN$と$MN$の長さを求めます。 (3) 直線$l, m, n$が平行のとき、$x$の値を求めます。 (4) $DE // BC$のとき、$\triangle ADE$と四角形$DBCE$の面積比を求めます。 (5) 相似な2つの三角柱$P, Q$があり、相似比が$2:5$であるとき、 (1) $P$と$Q$の体積比を求めます。 (2) $Q$の体積が$250 \text{ cm}^3$のとき、$P$の体積を求めます。

1. 問題の内容

与えられた図形に関する以下の問いに答えます。

(1) $DE // BC$のとき、$DB$の長さを求めます。

(2) $M, N$がそれぞれ$AC, BC$の中点のとき、$\angle CMN$と$MN$の長さを求めます。

(3) 直線$l, m, n$が平行のとき、$x$の値を求めます。

(4) $DE // BC$のとき、$\triangle ADE$と四角形$DBCE$の面積比を求めます。

(5) 相似な2つの三角柱$P, Q$があり、相似比が$2:5$であるとき、

(1) $P$と$Q$の体積比を求めます。

(2) $Q$の体積が$250 \text{ cm}^3$のとき、$P$の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $DE // BC$より、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$です。相似比は$AD:AB = 8 : (8+27) = 8:35$です。したがって、$AE:AC = 8:35$となり、$AE = \frac{8}{35} AC$。

$EC = AC - AE = AC - \frac{8}{35}AC = \frac{27}{35}AC$です。

$AE:EC = 8:27$なので、$AE:AC = 8:(8+10) = 8:18 = 4:9$

しかし、$DE//BC$より、$AD:DB = AE:EC$が成り立つので、$8:DB = 8:10$より、$DB = \frac{270}{8}$

相似比は$AE:AC = 8:(8+10)=8:18=4:9$なので、$DE:BC =4:9$

$DB = AB - AD = (8+27)-8 =27$cm

(2) $M, N$がそれぞれ$AC, BC$の中点のとき、$MN$は$\triangle ABC$の中点連結定理より、$MN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 18 = 9$cm

$\angle CMN = \angle CAB = 35^\circ$

(3) $l, m, n$が平行なので、相似な三角形ができます。

$3:9 = x:12$

$9x = 36$

$x = 4$

(4) $\triangle ADE$と$\triangle ABC$の相似比は$AD:AB = 3:(3+2) = 3:5$

面積比は$3^2:5^2 = 9:25$

四角形$DBCE$の面積は$25-9 = 16$

$\triangle ADE$と四角形$DBCE$の面積比は$9:16$

(5)

(1) 相似比が$2:5$なので、体積比は$2^3:5^3 = 8:125$

(2) $Q$の体積が$250 \text{ cm}^3$なので、$P$の体積を$V$とすると、

$8:125 = V:250$

$125V = 8 \times 250$

$V = \frac{8 \times 250}{125} = 8 \times 2 = 16 \text{ cm}^3$

3. 最終的な答え

(1) $DB = 27 \text{ cm}$

(2) $\angle CMN = 35^\circ$, $MN = 9 \text{ cm}$

(3) $x = 4$

(4) $9:16$

(5) (1) $8:125$, (2) $16 \text{ cm}^3$