$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 5$ ($0 \leq x \leq a$) の最大値とそのときの $x$ の値を以下の各場合についてそれぞれ求めよ。 (1) $0 < a < 2$ (2) $a = 2$ (3) $2 < a$

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 5$ ($0 \leq x \leq a$) の最大値とそのときの $x$ の値を以下の各場合についてそれぞれ求めよ。

(1) $0 < a < 2$

(2) $a = 2$

(3) $2 < a$

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 5$ のグラフの軸を求める。

$y = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5 = 2(x - 1)^2 - 2 + 5 = 2(x - 1)^2 + 3$

したがって、軸は $x = 1$ である。

(1) $0 < a < 2$ のとき

軸 $x = 1$ は区間 $[0, a]$ に含まれる。

$x = 0$ のとき $y = 2(0)^2 - 4(0) + 5 = 5$

$x = a$ のとき $y = 2a^2 - 4a + 5$

軸から遠い方の $x$ の値で最大となる。

$a < 2$ なので、$a < 0 + a$ が成り立つ。

$0$ と $a$ の中間点は $a/2$であり、$1 > a/2$ なので、軸からの距離は $x = 0$ の方が遠い。

よって、$x = 0$ のとき最大値 $5$ をとる。

(2) $a = 2$ のとき

$x = 0$ のとき $y = 5$

$x = 2$ のとき $y = 2(2)^2 - 4(2) + 5 = 8 - 8 + 5 = 5$

よって、$x = 0, 2$ のとき最大値 $5$ をとる。

(3) $2 < a$ のとき

軸 $x = 1$ は区間 $[0, a]$ に含まれる。

このとき、$x = a$ の方が $x = 0$ よりも軸から遠い。

よって、$x = a$ のとき最大値をとり、その値は $2a^2 - 4a + 5$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0$ のとき最大値 $5$

(2) $x = 0, 2$ のとき最大値 $5$

(3) $x = a$ のとき最大値 $2a^2 - 4a + 5$