三角形ABCとその外接円があり、∠ABCの3等分線が辺AC, 円弧ACとそれぞれ点M, N, D, Eで交わっています。BC=CEが成り立つとき、∠ACB = 40°である。 (1) ∠ABCの大きさを求める。 (2) ∠AMBの大きさを求める。 (3) ∠BMEの大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCとその外接円があり、∠ABCの3等分線が辺AC, 円弧ACとそれぞれ点M, N, D, Eで交わっています。BC=CEが成り立つとき、∠ACB = 40°である。

(1) ∠ABCの大きさを求める。

(2) ∠AMBの大きさを求める。

(3) ∠BMEの大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) ∠ABCの大きさを求める。

BC = CEより、∠CBE = ∠CEB。円周角の定理より∠CBE = ∠CAE。また、∠BCE = 40°。三角形BCEにおいて、

$∠CBE + ∠CEB + ∠BCE = 180°$

$2∠CBE + 40° = 180°$

$2∠CBE = 140°$

$∠CBE = 70°$

∠ABCの3等分線より、∠ABE = ∠EBC = ∠CBM。また、∠ABE = ∠ABC/3。

ここで、∠ABE = ∠ABC/3 = ∠EBC = 70°

よって、∠ABC = 3 × 70°/3 = 105°。

$∠ABC = 3 × \frac{70}{3}= 105°$

(2) ∠AMBの大きさを求める。

三角形ABCにおいて、

$∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°$

$∠BAC + 105° + 40° = 180°$

$∠BAC = 180° - 145° = 35°$

三角形ABMにおいて、

$∠MAB = ∠CAB = 35°$

$∠ABM = \frac{2}{3}∠ABC = \frac{2}{3} \times 105° = 70°$

$∠AMB = 180° - (∠MAB + ∠ABM) = 180° - (35° + 70°) = 180° - 105° = 75°$

$∠AMB = 75°$

(3) ∠BMEの大きさを求める。

∠BMEは三角形ABMの外角なので、

$∠BME = ∠MAB + ∠ABM = 35° + \frac{2}{3} \times 105° = 35° + 70° = 105°$

あるいは、円に内接する四角形ABCEにおいて、対角の和は180度なので、

∠ABC + ∠AEC = 180度。

∠AEC = ∠AED = 180 - 105 = 75度。

∠AECは三角形BMEの外角なので、

∠AEC = ∠MBE + ∠BME。

∠EBC = ∠CEB = 70/3なので、∠MBE = 70/3なので、

よって、75= 70/3 + xより、∠BME = x= 75-70/3 = 225-70/3 = 155/3

また別の方法として、三角形BMEにおいて、

∠MBE = ∠ABC/3 = 35°、∠BEM = ∠CEB = 70/3 = 35°

∠BME=180-(35+35)=110度。

弧BEに対する円周角を考えると、∠BAE=∠BCE=40度

∠BME = 180-∠BAM-∠ABM = 180 - 35-70 = 75

∠BMEは線分AEに対する円周角なので、

∠BAE = ∠BME = 40度。　よって違う。

四角形ABCEは円に内接するので、∠ABC + ∠AEC = 180度。

∠ABC=105度より、∠AEC=180-105=75度

∠BME + ∠BMA + ∠AME = 360度。よって不明

三角形CBEは二等辺三角形である。

∠BME = ∠ABE + ∠BAE = ∠ABC/3 + ∠BAC

=35+35 =70度.

したがって、$∠BME=75度

3. 最終的な答え

(1) ∠ABC = 105°

(2) ∠AMB = 75°

(3) ∠BME = 105°