$a, b, c$ について、$a+b+c = 1$, $a^2 + b^2 + c^2 = 4$, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ が成り立つとき、$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a, b, c$ について、$a+b+c = 1$, $a^2 + b^2 + c^2 = 4$, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ が成り立つとき、$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ を変形して、

$\frac{ab+bc+ca}{abc} = 1$

よって、

$ab+bc+ca = abc$

という関係を得ます。

次に、$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$ の関係式を利用します。

与えられた条件から、$1^2 = 4 + 2(ab+bc+ca)$ となり、$1 = 4 + 2(ab+bc+ca)$。

したがって、$2(ab+bc+ca) = -3$ より、$ab+bc+ca = -\frac{3}{2}$

すると、$abc = ab+bc+ca = -\frac{3}{2}$ となります。

求める値 $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ を変形します。

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}{(abc)^2}$

ここで、$(ab+bc+ca)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2(ab \cdot bc + bc \cdot ca + ca \cdot ab)$ を利用します。

$(ab+bc+ca)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2abc(a+b+c)$

$(-\frac{3}{2})^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2(-\frac{3}{2})(1)$

$\frac{9}{4} = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 - 3$

$(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = \frac{9}{4} + 3 = \frac{9+12}{4} = \frac{21}{4}$

よって、$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}{(abc)^2} = \frac{\frac{21}{4}}{(-\frac{3}{2})^2} = \frac{\frac{21}{4}}{\frac{9}{4}} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{3}$