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問題1は、行列に関する連立方程式を解き、行列X, Yを求める問題です。 問題2は、与えられた行列A, B, Cを用いて、行列の計算を行う問題です。

代数学行列連立方程式行列の計算
2025/6/8
はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題1は、行列に関する連立方程式を解き、行列X, Yを求める問題です。
問題2は、与えられた行列A, B, Cを用いて、行列の計算を行う問題です。

2. 解き方の手順

問題1
(1)
まず、与えられた式を変形して XX について解きます。
2[103214]+5X=[751−112−2]2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} + 5X = \begin{bmatrix} 7 & 5 & 1 \\ -1 & 12 & -2 \end{bmatrix}
5X=[751−112−2]−2[103214]5X = \begin{bmatrix} 7 & 5 & 1 \\ -1 & 12 & -2 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{bmatrix}
5X=[751−112−2]−[206428]5X = \begin{bmatrix} 7 & 5 & 1 \\ -1 & 12 & -2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 4 & 2 & 8 \end{bmatrix}
5X=[55−5−510−10]5X = \begin{bmatrix} 5 & 5 & -5 \\ -5 & 10 & -10 \end{bmatrix}
X=15[55−5−510−10]X = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 5 & 5 & -5 \\ -5 & 10 & -10 \end{bmatrix}
X=[11−1−12−2]X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \end{bmatrix}
(2)
与えられた式は次の通りです。
3X+2Y=[1203]3X + 2Y = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}
5X+3Y=[2−153]5X + 3Y = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}
この連立方程式を解きます。まず、最初の式を3倍、2番目の式を2倍します。
9X+6Y=3[1203]=[3609]9X + 6Y = 3\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}
10X+6Y=2[2−153]=[4−2106]10X + 6Y = 2\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 10 & 6 \end{bmatrix}
2番目の式から1番目の式を引くと次のようになります。
X=[4−2106]−[3609]=[1−810−3]X = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 10 & 6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 10 & -3 \end{bmatrix}
3X+2Y=[1203]3X + 2Y = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}に代入して、YYについて解きます。
2Y=[1203]−3X=[1203]−3[1−810−3]=[1203]−[3−2430−9]=[−226−3012]2Y = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} - 3X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 10 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -24 \\ 30 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 26 \\ -30 & 12 \end{bmatrix}
Y=12[−226−3012]=[−113−156]Y = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2 & 26 \\ -30 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 13 \\ -15 & 6 \end{bmatrix}
問題2
(1)
2B−3{2A+B−2(B−2C+A)}2B-3\{2A+B-2(B-2C+A)\}を計算します。
まず、括弧の中を整理します。
2A+B−2(B−2C+A)=2A+B−2B+4C−2A=−B+4C2A+B-2(B-2C+A) = 2A + B - 2B + 4C - 2A = -B + 4C
したがって、2B−3{2A+B−2(B−2C+A)}=2B−3(−B+4C)=2B+3B−12C=5B−12C2B-3\{2A+B-2(B-2C+A)\} = 2B - 3(-B + 4C) = 2B + 3B - 12C = 5B - 12C
5B=5[0−3531−2230]=[0−1525155−1010150]5B = 5\begin{bmatrix} 0 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -15 & 25 \\ 15 & 5 & -10 \\ 10 & 15 & 0 \end{bmatrix}
12C=12[−2010−3214−1]=[−240120−36241248−12]12C = 12\begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -24 & 0 & 12 \\ 0 & -36 & 24 \\ 12 & 48 & -12 \end{bmatrix}
5B−12C=[0−1525155−1010150]−[−240120−36241248−12]=[24−15131541−34−2−3312]5B - 12C = \begin{bmatrix} 0 & -15 & 25 \\ 15 & 5 & -10 \\ 10 & 15 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -24 & 0 & 12 \\ 0 & -36 & 24 \\ 12 & 48 & -12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 & -15 & 13 \\ 15 & 41 & -34 \\ -2 & -33 & 12 \end{bmatrix}
(2)
(A+B)2(A+B)^2を計算します。
まず、A+BA+Bを計算します。
A+B=[1−13−234012]+[0−3531−2230]=[1−48142242]A+B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \\ -2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 8 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}
(A+B)2=(A+B)(A+B)=[1−48142242][1−48142242]=[1−4+16−4−16+328−8+161+4+4−4+16+88+8+42+4+4−8+16+816+8+4]=[13121692020101628](A+B)^2 = (A+B)(A+B) = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 8 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -4 & 8 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-4+16 & -4-16+32 & 8-8+16 \\ 1+4+4 & -4+16+8 & 8+8+4 \\ 2+4+4 & -8+16+8 & 16+8+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 12 & 16 \\ 9 & 20 & 20 \\ 10 & 16 & 28 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

問題1
(1) X=[11−1−12−2]X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \end{bmatrix}
(2) X=[1−810−3]X = \begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 10 & -3 \end{bmatrix}, Y=[−113−156]Y = \begin{bmatrix} -1 & 13 \\ -15 & 6 \end{bmatrix}
問題2
(1) 2B−3{2A+B−2(B−2C+A)}=[24−15131541−34−2−3312]2B-3\{2A+B-2(B-2C+A)\} = \begin{bmatrix} 24 & -15 & 13 \\ 15 & 41 & -34 \\ -2 & -33 & 12 \end{bmatrix}
(2) (A+B)2=[13121692020101628](A+B)^2 = \begin{bmatrix} 13 & 12 & 16 \\ 9 & 20 & 20 \\ 10 & 16 & 28 \end{bmatrix}

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