実数 $a, b, c$ に対して、次の不等式が成り立つことを示す問題です。 (1) $2(a^4 + b^4) \geq (a+b)(a^3 + b^3)$ (2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$ まずは(1)の不等式を示します。画像に書かれている途中式を参考に、さらに計算を進めます。

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ に対して、次の不等式が成り立つことを示す問題です。

(1) $2(a^4 + b^4) \geq (a+b)(a^3 + b^3)$

(2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$

まずは(1)の不等式を示します。画像に書かれている途中式を参考に、さらに計算を進めます。

2. 解き方の手順

(1) $2(a^4 + b^4) \geq (a+b)(a^3 + b^3)$ を示す。

まず、両辺の差をとります。

$2(a^4 + b^4) - (a+b)(a^3 + b^3) = 2a^4 + 2b^4 - (a^4 + ab^3 + a^3b + b^4) = a^4 + b^4 - ab^3 - a^3b$

さらに因数分解を進めます。

$a^4 + b^4 - ab^3 - a^3b = a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 = a^3(a-b) - b^3(a-b) = (a^3 - b^3)(a-b) = (a-b)(a^2 + ab + b^2)(a-b) = (a-b)^2(a^2 + ab + b^2)$

ここで、$(a-b)^2 \geq 0$ は常に成り立ちます。

また、$a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \geq 0$ なので、$a^2 + ab + b^2$ も常に0以上です。

したがって、$(a-b)^2(a^2 + ab + b^2) \geq 0$ が成り立ちます。

つまり、$2(a^4 + b^4) - (a+b)(a^3 + b^3) \geq 0$ であるから、$2(a^4 + b^4) \geq (a+b)(a^3 + b^3)$ が成り立ちます。

(2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$ を示す。

これは少し難しいので、コーシー・シュワルツの不等式を利用して考えます。

コーシー・シュワルツの不等式より、

$(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2$

が成り立ちます。

$x_1 = a^2, x_2 = b^2, x_3 = c^2$

$y_1 = a, y_2 = b, y_3 = c$

とすると、

$(a^4 + b^4 + c^4)(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a^3 + b^3 + c^3)^2$

が成り立ちます。

別の不等式として、平均の不等式を利用します。

$a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

上記2つの不等式を組み合わせることを考えますが、少し工夫が必要です。

別の解法として、Chebyshevの不等式があります。

$a,b,c$ および $x,y,z$ が共に同じ順序で並んでいるとき、

$3(ax + by + cz) \geq (a+b+c)(x+y+z)$ が成り立つというものです。

$a^3,b^3,c^3$ と $a,b,c$ は同じ順序なので、

$3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $2(a^4 + b^4) \geq (a+b)(a^3 + b^3)$ が成り立つ。

(2) $3(a^4 + b^4 + c^4) \geq (a+b+c)(a^3 + b^3 + c^3)$ が成り立つ。